A função que leva o nome de Riemann foi estudada antes por Euler. Para um número real $s$ maior que 1, a série

$$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$

converge. Euler calculou vários dos seus valores, como $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$, a solução do problema de Basileia.

O produto de Euler

A descoberta mais profunda de Euler, de 1737, foi que a mesma função pode ser escrita como um produto sobre os números primos:

$$\zeta(s) = \prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = \frac{1}{1 - 2^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 3^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 5^{-s}}\cdots$$

A razão é a fatoração única. Cada fator é uma progressão geométrica: $\frac{1}{1 - 2^{-s}} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots$. Multiplicando os fatores de todos os primos e expandindo, cada inteiro $n$ aparece exatamente uma vez, como produto das potências dos seus primos. Por exemplo, $\frac{1}{12^s}$ vem de escolher $\frac{1}{4^s}$ no fator do 2 e $\frac{1}{3^s}$ no fator do 3. O lado esquerdo só fala de inteiros; o lado direito, só de primos. A fórmula é uma ponte entre os dois, e foi com ela que Euler deu uma nova prova de que existem infinitos primos.

A variável complexa

Riemann, que tinha dedicado a tese às funções complexas, fez o passo decisivo no artigo de 1859: deixou $s$ ser um número complexo, $s = \sigma + it$. A série continua a convergir sempre que a parte real $\sigma$ é maior que 1, porque $|n^{-s}| = n^{-\sigma}$.

Mas Riemann mostrou mais: a função pode ser estendida a todo o plano complexo, com uma única exceção, $s = 1$, onde ela vai ao infinito. Fora da região $\sigma > 1$ a série já não converge, mas a função continua existindo, definida por outras fórmulas que coincidem com a série onde ela converge. É o que se chama continuação analítica: uma função complexa derivável fica inteiramente determinada por um pedaço qualquer dela.

A simetria entre s e 1 − s

Riemann descobriu que a função estendida tem uma simetria notável, a equação funcional:

$$\zeta(s) = 2^s\,\pi^{s-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1 - s)\,\zeta(1 - s),$$

em que $\Gamma$ é a função gama, que estende o fatorial. A equação relaciona os valores em $s$ com os valores em $1 - s$, o ponto simétrico em relação à reta vertical $\sigma = \frac{1}{2}$. Essa reta, a reta crítica, vai ser o centro da hipótese de Riemann.

A equação funcional explica, por exemplo, que $\zeta$ se anula nos inteiros pares negativos, $-2, -4, -6, \ldots$: neles o seno se anula. Esses são os zeros triviais. Todos os outros zeros, os não triviais, ficam na faixa $0 < \sigma < 1$, a faixa crítica.

Exercício: o produto de Euler para s = 2

Calcule o produto $\frac{1}{1 - 2^{-2}}\cdot\frac{1}{1 - 3^{-2}}\cdot\frac{1}{1 - 5^{-2}}\cdot\frac{1}{1 - 7^{-2}}$ e compare com $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449$.

Os fatores são $\frac{4}{3}$, $\frac{9}{8}$, $\frac{25}{24}$ e $\frac{49}{48}$. O produto é $\frac{4 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 49}{3 \cdot 8 \cdot 24 \cdot 48} = \frac{44\,100}{27\,648} \approx 1{,}5951$. Só com os quatro primeiros primos já chegamos a 97% do valor; os outros primos completam o resto.

Exercício: o tamanho de n elevado a s complexo

Mostre que $|n^{-s}| = n^{-\sigma}$ para $s = \sigma + it$, e conclua que a série de $\zeta(s)$ converge quando $\sigma > 1$.

$n^{-s} = e^{-s\ln n} = e^{-\sigma\ln n}\,e^{-it\ln n}$. O segundo fator tem módulo 1, porque é da forma $e^{i\theta}$. Então $|n^{-s}| = e^{-\sigma\ln n} = n^{-\sigma}$. A série dos módulos é $\sum n^{-\sigma}$, que converge para $\sigma > 1$. Logo a série complexa converge absolutamente nessa região.

Fontes: Leonhard Euler, “Variae observationes circa series infinitas” (1737; publicado em 1744) · Bernhard Riemann, “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”, Monatsberichte der Berliner Akademie (novembro de 1859) · Harold M. Edwards, Riemann’s Zeta Function (1974) · John Derbyshire, Prime Obsession (2003).

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