O seno é a altura do ponto que gira no ciclo. Quando o ponto dá voltas, a altura sobe e desce entre $-1$ e $1$, desenhando a curva mais famosa da matemática: a senoide.

A história

Durante mais de mil anos o seno foi um número de tabela: ninguém pensava em desenhar o seu gráfico. A primeira senoide de que se tem notícia apareceu por volta de 1634, num trabalho do francês Gilles Personne de Roberval sobre a cicloide, a curva descrita por um ponto de uma roda que rola. Para calcular a área sob a cicloide, Roberval usou uma curva auxiliar, que chamou de “companheira da cicloide” — e essa companheira é exatamente uma senoide. Foi Euler, um século depois, quem passou a tratar o seno como função de um número real, e só então o gráfico ganhou o lugar central que tem hoje.

A roda rola: o ponto $P$ da borda desenha a cicloide, e o ponto $Q$, na mesma altura de $P$ e na vertical do centro, desenha a companheira de Roberval — a primeira senoide.

Fontes: Roberval (MacTutor) · Trigonometric functions (MacTutor).

No dia a dia

  • Som. Um diapasão de lá vibra 440 vezes por segundo; a pressão do ar perto dele é uma senoide de período $\frac{1}{440}$ s.
  • Corrente alternada. A tensão da tomada no Brasil é uma senoide com 60 ciclos por segundo.
  • Marés e estações. A altura da maré e a duração do dia ao longo do ano são bem aproximadas por funções do tipo $a + b \operatorname{sen}(cx + d)$.
A tensão da tomada é uma senoide de 60 ciclos por segundo, com pico de cerca de 180 V.

Teoria

Definição

DefiniçãoSeno e função seno

Dado um número real $x$, seja $P$ a sua imagem no ciclo. O seno de $x$ (indicamos $\operatorname{sen} x$) é a ordenada $\overline{OP_1}$ do ponto $P$ em relação ao sistema $uOv$.

A função seno é a função $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que associa a cada real $x$ o real $\overline{OP_1} = \operatorname{sen} x$, isto é, $f(x) = \operatorname{sen} x$.

Arraste $P$ pelo ciclo: o segmento vermelho $\overline{OP_1}$, sobre o eixo dos senos, é $\operatorname{sen} x$.

Propriedades

PropriedadePropriedades da função seno

  1. A imagem da função seno é o intervalo $[-1, 1]$: $\;-1 \le \operatorname{sen} x \le 1$ para todo $x$ real.
  2. Se $x$ é do 1º ou do 2º quadrante, $\operatorname{sen} x$ é positivo.
  3. Se $x$ é do 3º ou do 4º quadrante, $\operatorname{sen} x$ é negativo.
  4. Se $x$ percorre o 1º ou o 4º quadrante, $\operatorname{sen} x$ é crescente.
  5. Se $x$ percorre o 2º ou o 3º quadrante, $\operatorname{sen} x$ é decrescente.
  6. A função seno é periódica e o seu período é $2\pi$.
Ver as demonstrações

1. Se $P$ está no ciclo de raio 1, a sua ordenada só pode variar de $-1$ a $+1$; e cada valor desse intervalo é ordenada de algum ponto do ciclo.

2 e 3. No 1º e no 2º quadrantes, $P$ está acima do eixo $u$ e a sua ordenada é positiva; no 3º e no 4º, $P$ está abaixo de $u$ e a ordenada é negativa.

4 e 5. Se $x$ percorre o 1º quadrante, $P$ percorre o arco $\overset{\frown}{AB}$ e a sua ordenada cresce de 0 a 1; no 4º quadrante, $P$ vai de $B'$ a $A$ e a ordenada cresce de $-1$ a 0. Se $x$ percorre o 2º quadrante, $P$ percorre $\overset{\frown}{BA'}$ e a ordenada decresce de 1 a 0; fato análogo acontece no 3º quadrante.

6. Se $\operatorname{sen} x = \overline{OP_1}$ e $k \in \mathbb{Z}$, então $\operatorname{sen}(x + 2k\pi) = \overline{OP_1}$, pois $x$ e $x + 2k\pi$ têm a mesma imagem $P$ no ciclo. Logo, para todo $x$ real,

$$\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(x + 2k\pi),$$

e a função seno é periódica. O período é o menor valor positivo de $2k\pi$, isto é, $2\pi$ (nenhum $p$ entre 0 e $2\pi$ serve, pois $\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1$ só se repete depois de uma volta inteira).

Gráfico: a senoide

Façamos $x$ percorrer o intervalo $[0, 2\pi]$. Quando a imagem $P$ dá uma volta completa no sentido anti-horário, a ordenada de $P$ varia assim:

$x$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\operatorname{sen} x$ $0$ cresce $1$ decresce $0$ decresce $-1$ cresce $0$

Com $x$ nas abscissas e $\operatorname{sen} x$ nas ordenadas, obtemos o gráfico chamado senoide:

Mova o controle (ou use ▶ animar): a altura do ponto do ciclo é transportada para o gráfico, que vai sendo desenhado.
A senoide. O retângulo $[0, 2\pi] \times [-1, 1]$ contém exatamente um período; as dimensões dele são $2\pi \times 2$, ou seja, cerca de $6{,}28 \times 2$.

Como o domínio da função seno é $\mathbb{R}$, a senoide continua para a direita de $2\pi$ e para a esquerda de $0$, repetindo o mesmo carimbo.

Variações da senoide

Os exercícios deste capítulo pedem gráficos de funções como $-\operatorname{sen} x$, $2\operatorname{sen} x$, $|\operatorname{sen} x|$, $\operatorname{sen} 2x$, $\operatorname{sen}\frac{x}{2}$, $1 + \operatorname{sen} x$ e $\operatorname{sen}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$. Todas seguem o mesmo método, em três etapas:

  1. atribuímos valores convenientes ao argumento do seno ($0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$);
  2. calculamos o seno desses valores;
  3. calculamos $x$ e $y$ a partir deles.

ResumoImagem e período de f(x) = a + b·sen(cx + d)

Para $a, b, c, d$ reais com $b \ne 0$ e $c \ne 0$:

$$\operatorname{Im}(f) = \big[a - |b|,\ a + |b|\big] \qquad\qquad p(f) = \frac{2\pi}{|c|}.$$
  • $a$ translada o gráfico para cima ($a > 0$) ou para baixo ($a < 0$);
  • $b$ estica o gráfico na vertical (a amplitude é $|b|$) e, se $b < 0$, o reflete no eixo $x$;
  • $c$ comprime o gráfico na horizontal: o período passa a ser $\frac{2\pi}{|c|}$;
  • $d$ desloca o gráfico na horizontal: um período começa em $x = -\frac{d}{c}$.

A demonstração está no exercício 43 da lista do capítulo.

Mova os controles e observe o efeito de cada coeficiente. Use os valores de um exercício para conferir o seu gráfico.