Por volta de 300 a.C., em Alexandria, Euclides reuniu a geometria grega em treze livros, os Elementos. Durante mais de dois mil anos, foi o livro de matemática mais lido do mundo, e a sua primeira proposição mostra como ele funciona:

Sobre uma reta dada e limitada, construir um triângulo equilátero.

— Euclides, Elementos, livro I, proposição 1

A receita é curta. Seja $AB$ a reta dada. Com centro em $A$ e raio $AB$, trace um círculo; com centro em $B$ e o mesmo raio, trace outro. Chame de $C$ um ponto onde os dois círculos se cortam. Então $AC=AB$, porque ambos são raios do primeiro círculo, e $BC=AB$, porque ambos são raios do segundo. Coisas iguais a uma mesma coisa são iguais entre si, logo $AC=BC=AB$, e o triângulo $ABC$ é equilátero.

Repare no que há de escrita aqui. Não há nenhum sinal de operação, nenhuma equação, nenhum $x$. Há palavras, há um desenho e há letras que ligam um ao outro. A letra $C$ no texto aponta para um ponto específico no desenho; sem ela, seria preciso dizer “aquele ponto onde os círculos se encontram, o de cima”. As letras de Euclides são as primeiras etiquetas da matemática.

O desenho mostra, o texto prova

O desenho de Euclides é sempre um desenho particular: um triângulo com estes ângulos, este tamanho, esta inclinação na página. Mas a proposição vale para qualquer reta $AB$. Como um desenho particular pode sustentar uma afirmação geral?

A resposta grega é que não sustenta. Quem prova é o texto, passo a passo, usando só o que foi definido e postulado. O desenho guia o olho e ajuda a não se perder, mas nenhuma frase da prova diz “como se vê na figura”. Toda vez que o desenho parece mostrar alguma coisa que o texto não justificou, o leitor tem o direito de desconfiar.

Veja um exemplo que vamos usar mais adiante. Uma mediana de um triângulo liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Desenhe um triângulo qualquer, trace uma mediana, e o desenho parece sugerir que ela corta o triângulo em duas partes de mesma área.

A mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Os dois triângulos têm bases iguais e a mesma altura.
A mediana liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Os dois triângulos têm bases iguais e a mesma altura.Diagrama didático produzido para este livro.

“Parece” não basta. A prova é esta: os dois triângulos formados têm bases iguais (as duas metades do lado cortado) e a mesma altura (a distância do vértice à reta da base, que é a mesma para os dois). Como a área de um triângulo é metade de base vezes altura, as áreas são iguais. Repare que a prova não depende de nenhuma medida do desenho: ela funcionaria do mesmo jeito para um triângulo alto, achatado ou torto.

Um Euclides sem letras

Em 1847, o engenheiro irlandês Oliver Byrne publicou uma edição dos seis primeiros livros dos Elementos com uma ideia ousada: trocar as letras por cores. Em vez de “o ângulo $ABC$ é igual ao ângulo $DEF$”, Byrne desenhava um pequeno ângulo vermelho, um sinal de igual e outro ângulo vermelho. O texto quase desaparece, e a prova vira uma sequência de figuras coloridas.

O livro é lindo e até hoje é reeditado como obra de arte. Mas não pegou como forma de escrever matemática. As cores eram caras de imprimir, não sobreviviam a uma cópia em preto e branco e, sobretudo, não escalavam: com vinte pontos numa figura, ninguém distingue vinte tons. As letras de Euclides, que pareciam pobres ao lado das cores, eram uma notação mais ativa: podiam ser combinadas ($AB$, $ABC$), repetidas em outras proposições e lidas em voz alta.

Uma escrita boa para provar, ruim para calcular

A geometria grega fazia tudo em palavras e figuras, até o que hoje chamaríamos de álgebra. A identidade que escrevemos como $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ aparece nos Elementos (livro II, proposição 4) assim: “se uma reta for cortada ao acaso, o quadrado sobre a reta toda é igual aos quadrados sobre os segmentos e duas vezes o retângulo contido pelos segmentos”. Está certo, está provado, e é muito difícil de usar numa conta.

Essa é a fronteira que o capítulo vai atravessar a seguir. A escrita grega era excelente para mostrar por que algo é verdade, mas pesada para manipular quantidades desconhecidas. Quando os problemas passaram a pedir esse tipo de manipulação, a matemática precisou de outra escrita.

Exercício: a mediana com coordenadas

Tome o triângulo com vértices $A=(0,0)$, $B=(6,0)$ e $C=(1,4)$. O ponto médio de $AB$ é $M=(3,0)$. O triângulo $AMC$ tem base $AM=3$ e altura $4$ (a ordenada de $C$), logo área $\frac{3\cdot4}{2}=6$. O triângulo $MBC$ tem base $MB=3$ e a mesma altura $4$, logo também área $6$. O triângulo inteiro tem área $\frac{6\cdot 4}{2}=12$. A mediana dividiu a área ao meio, mesmo com $C$ bem deslocado para a esquerda.

Exercício: medir prova?

Você desenha um triângulo, mede os três ângulos com um transferidor e obtém $61^\circ$, $58^\circ$ e $62^\circ$, que somam $181^\circ$. Isso refuta o teorema de que a soma é $180^\circ$? Não: a medida tem erro, e o desenho é só uma representação. E se tivesse dado exatamente $180^\circ$, isso também não provaria o teorema, porque valeria só para aquele triângulo. A prova de Euclides (livro I, proposição 32) traça uma paralela a um dos lados pelo vértice oposto e usa a igualdade dos ângulos alternos: o argumento vale para todos os triângulos de uma vez.

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