Euler's Eyes
2026-10-20
Triângulos retângulos: medindo sem alcançar
No livro interativo: capítulo IX completo, com todas as demonstrações e exercícios.
A altura da árvore
Você está a 6 m de uma árvore, em terreno horizontal, e vê seu topo com ângulo de elevação de $45°$. É possível descobrir a altura sem subir nela. Precisamos montar um triângulo e dizer exatamente de onde observamos.
Um triângulo retângulo tem um ângulo de $90°$. O lado oposto a ele é a hipotenusa; os outros são os catetos. Em relação a um ângulo agudo escolhido, um cateto é oposto e o outro, adjacente.
Demonstração de Pitágoras com áreas
Recorte quatro triângulos retângulos iguais, com catetos $a,b$ e hipotenusa $c$. Organize-os dentro de um quadrado de lado $a+b$, com os ângulos retos nos cantos e as hipotenusas formando um quadrado central de lado $c$.
O quadrado central tem ângulos retos porque os dois ângulos agudos de cada triângulo somam $90°$. A área grande é a soma das quatro áreas triangulares e da área central:
$$\begin{aligned} (a+b)^2&=4\frac{ab}{2}+c^2,\\ a^2+2ab+b^2&=2ab+c^2,\\ a^2+b^2&=c^2. \end{aligned}$$Essa demonstração explica a igualdade para qualquer triângulo retângulo, e não apenas para um desenho de medidas inteiras.
Por que as razões dependem apenas do ângulo?
Dois triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo têm os três ângulos iguais. São semelhantes: seus lados correspondentes estão na mesma proporção. Se multiplicarmos todos os lados por um mesmo número, os quocientes não mudam. Definimos:
$$\operatorname{sen}\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},$$$$\tan\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}.$$
Ao reduzir a hipotenusa a 1 e colocar o ângulo na origem do plano, os dois catetos são as coordenadas do ponto do ciclo. Assim, as definições dos capítulos anteriores e as do triângulo concordam.
A altura que cria três triângulos semelhantes
Chame a hipotenusa de $c$. A altura $h$ traçada do ângulo reto divide $c$ em partes $p$ e $q$. Seja $a$ o cateto cuja projeção sobre a hipotenusa mede $p$, e $b$ o cateto associado a $q$.
A semelhança dos triângulos dá $a/c=p/a$ e $b/c=q/b$. Multiplicando em cruz:
$$a^2=cp,\qquad b^2=cq.$$Comparando as áreas, $ab/2=ch/2$, então $h=ab/c$. Logo:
$$h^2=\frac{a^2b^2}{c^2}=\frac{cp\,cq}{c^2}=pq.$$Também temos $p+q=c$. Essas são as relações métricas do triângulo retângulo.
Exemplo resolvido: a árvore e seus olhos
Se os olhos estão a 1,4 m do chão, o cateto vertical vai da altura dos olhos até o topo. Chamando esse desnível de $d$:
$$\tan45°=\frac d6\quad\Rightarrow\quad d=6\text{ m}.$$A árvore mede $6+1{,}4=7{,}4$ m. A medida depende das hipóteses: terreno plano, árvore vertical e distância horizontal de 6 m. Uma estimativa aproximada do ângulo produz uma altura também aproximada.
Como escolher a ferramenta
Se conhece dois lados e quer o terceiro, use Pitágoras. Se conhece um ângulo agudo e um lado, escolha a razão que envolve o lado conhecido e o procurado. O outro ângulo agudo é $90°-\alpha$. Escreva as unidades no resultado e confira se a hipotenusa ficou maior que cada cateto.
No dia a dia
- Altura de árvores e prédios. Com um transferidor ou um aplicativo de celular, mede-se o ângulo até o topo e a distância até a base; a tangente dá a altura.
- Pouso de aviões. A descida final de um avião faz cerca de $3^\circ$ com o solo; a tangente diz a que altura ele deve estar a cada distância da pista.
- Obras. O pedreiro confere o esquadro de uma parede com o triângulo 3-4-5.
Exercícios
Tente resolver no caderno antes de abrir a resolução. Os exercícios 1 e 2 são de entrada; 3 e 4, de prática; 5 e 6, de aprofundamento.
1. Um triângulo retângulo tem catetos 9 e 12 cm. Qual é a hipotenusa?
Ver resolução 1
$c=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm.
2. Uma escada de 10 m faz $60°$ com o chão. Que altura alcança na parede?
Ver resolução 2
$h=10\operatorname{sen}60°=5\sqrt3$ m, aproximadamente 8,66 m.
3. Um poste projeta sombra de 4 m quando a elevação do Sol é $30°$. Qual é a altura?
Ver resolução 3
$h/4=\tan30°=\sqrt3/3$, então $h=4\sqrt3/3$ m, aproximadamente 2,31 m.
4. A hipotenusa é 10 cm e um cateto é 6 cm. Calcule o outro cateto e a altura relativa à hipotenusa.
Ver resolução 4
O outro cateto é $\sqrt{100-36}=8$ cm. A altura é $h=6\cdot8/10=4{,}8$ cm.
5. A altura divide a hipotenusa em 4 e 9 cm. Calcule a hipotenusa, a altura e os catetos.
Ver resolução 5
$c=13$ cm; $h=\sqrt{4\cdot9}=6$ cm. Os catetos medem $\sqrt{13\cdot4}=2\sqrt{13}$ cm e $\sqrt{13\cdot9}=3\sqrt{13}$ cm.
6. Um observador com olhos a 1,5 m do solo vê o topo de um poste a $45°$, a 8 m de distância horizontal. Qual é a altura do poste?
Ver resolução 6
O desnível é $8\tan45°=8$ m. Somando a altura dos olhos, o poste tem 9,5 m.