Euler's Eyes
2026-10-31
As superfícies de Riemann
A tese de doutorado de Riemann, de 1851, tem um título modesto: Fundamentos de uma teoria geral das funções de uma variável complexa. Dentro dela estão duas ideias que mudaram a matemática: as condições que uma função complexa precisa cumprir para ter derivada e uma maneira geométrica de lidar com funções que têm vários valores.
Funções que se podem derivar
Uma função complexa $f(z)$, com $z = x + iy$, pode ser escrita como $f = u + iv$, em que $u$ e $v$ são funções reais de $x$ e $y$. Para que $f$ tenha derivada no sentido complexo, isto é, para que o limite $\frac{f(z + h) - f(z)}{h}$ seja o mesmo qualquer que seja a direção em que $h$ vai a zero, as partes $u$ e $v$ precisam satisfazer as equações de Cauchy–Riemann:
$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$Cauchy já as conhecia; Riemann as pôs no centro da teoria. Uma consequência é que $u$ e $v$ são harmônicas, satisfazem a equação de Laplace, e é por isso que as funções complexas servem tão bem para descrever eletricidade, calor e fluidos.
O problema da raiz quadrada
Algumas funções complexas têm mais de um valor. O exemplo mais simples é $\sqrt{z}$. Escreva $z$ na forma polar, $z = r\,e^{i\theta}$. Uma raiz quadrada é $\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}$. Agora dê uma volta completa em torno da origem: $\theta$ aumenta $2\pi$, e o ponto $z$ volta ao lugar de partida. Mas a raiz passa a ser
$$\sqrt{r}\,e^{i(\theta + 2\pi)/2} = \sqrt{r}\,e^{i\theta/2}\,e^{i\pi} = -\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}.$$Depois de uma volta, a raiz trocou de sinal; depois de duas, voltou ao valor inicial. A função não está bem definida no plano.
Duas folhas coladas
A solução de Riemann foi mudar o lugar onde a função vive. Em vez de um plano, tome duas cópias do plano, duas folhas, uma sobre a outra. Corte as duas ao longo de uma semirreta que sai da origem e cole a borda de cima de uma folha à borda de baixo da outra, em cruz. Quem dá uma volta em torno da origem sobe ou desce para a outra folha; com duas voltas, volta à folha de partida.
Sobre essa superfície de duas folhas, $\sqrt{z}$ tem um só valor em cada ponto. A raiz deixou de ser uma função problemática no plano e passou a ser uma função comum numa superfície de Riemann.
A ideia vai muito além da raiz. Para funções mais complicadas, as superfícies podem ter muitas folhas e buracos, como uma rosquinha ou um pretzel. O número de buracos, que Riemann estudou na teoria das funções abelianas de 1857, se chama gênero, e se tornou um dos conceitos centrais da topologia.
O teorema da aplicação
A tese também enuncia um resultado surpreendente: qualquer região do plano sem buracos (e que não seja o plano inteiro) pode ser deformada num disco, o círculo cheio de raio 1, por uma função complexa que preserva os ângulos. Uma região com a forma de um país, de uma estrela ou de uma mancha pode ser “endireitada” num disco. É o teorema da aplicação de Riemann.
Exercício: Cauchy–Riemann para z²
Verifique as equações de Cauchy–Riemann para $f(z) = z^2$.
$z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$, então $u = x^2 - y^2$ e $v = 2xy$. Temos $u_x = 2x = v_y$ e $u_y = -2y = -v_x$. As equações valem em todos os pontos, como deve ser para um polinômio em $z$.
Exercício: uma função sem derivada
Mostre que $f(z) = \bar{z} = x - iy$, o conjugado, não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em nenhum ponto.
$u = x$ e $v = -y$. Então $u_x = 1$ mas $v_y = -1$. A primeira equação falha em todo ponto. O conjugado é uma função perfeitamente contínua, mas não tem derivada complexa: espelha o plano e, por isso, inverte o sentido dos ângulos.
Fontes: Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (1851) · Bernhard Riemann, “Theorie der Abel’schen Functionen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 54 (1857) · Hermann Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche (1913) · Jeremy Gray, The Real and the Complex: A History of Analysis in the 19th Century (2015).
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