Para o cosseno, a reta auxiliar é vertical: as soluções de $\cos x > m$ ficam à direita dela, e as de $\cos x < m$, à esquerda.

A história

A notação de intervalos que usamos neste livro, com colchetes “virados” para indicar um extremo excluído — $\left]a, b\right[$ —, é tradição francesa; ela foi difundida no século XX pelo grupo Nicolas Bourbaki, pseudônimo coletivo de matemáticos franceses que reescreveram os fundamentos da matemática numa série de livros. Nos países de língua inglesa é mais comum a notação com parênteses, $(a, b)$.

Fontes: Bourbaki (MacTutor) · Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (Jeff Miller).

No dia a dia

  • Câmeras e jogos. Um ponto está no campo de visão de uma câmera de abertura $2\beta$ quando o ângulo $\theta$ entre ele e o eixo da câmera satisfaz $\cos\theta > \cos\beta$; os jogos usam exatamente esse teste para decidir se um personagem “vê” o outro.
  • Antenas direcionais. Uma antena de Wi-Fi direcional dá bom sinal quando o desvio $\theta$ em relação à sua direção cumpre, por exemplo, $\cos\theta > 0{,}9$, isto é, $\theta < 25{,}8^\circ$.
  • Iluminação. Uma parede fica bem iluminada por uma lâmpada quando a luz chega com $\cos\theta > \frac{1}{2}$, ou seja, a menos de $60^\circ$ da perpendicular.
O objeto aparece na imagem quando $\cos\theta > \cos\beta$: a câmera e os jogos fazem esse teste o tempo todo.

Teoria

Resolução de cos x > m

ResumoRoteiro

  1. Marque sobre o eixo dos cossenos o ponto $P_2$ tal que $\overline{OP_2} = m$ e trace por $P_2$ a reta $r$ perpendicular ao eixo.
  2. As imagens dos reais $x$ tais que $\cos x > m$ estão na interseção do ciclo com o semiplano à direita de $r$.
  3. Descreva os intervalos que convêm, partindo de $A$.

Exemplocos x > √3/2

A reta $u = \frac{\sqrt{3}}{2}$ corta o ciclo nas imagens de $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{11\pi}{6}$; o arco à direita contém $A$:

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$$2k\pi \le x < \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{11\pi}{6} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi.$$

Resolução de cos x < m

ResumoRoteiro

  1. Marque $P_2$ com $\overline{OP_2} = m$ e trace a reta $r$ perpendicular ao eixo dos cossenos.
  2. As imagens dos reais $x$ tais que $\cos x < m$ estão na interseção do ciclo com o semiplano à esquerda de $r$.
  3. Descreva os intervalos que convêm.

Exemplocos x < −1/2

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$$\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi.$$

Como o arco não passa por $A$, basta um intervalo.

Inequações-produto e inequações-quociente

Quando a inequação envolve um produto ou um quociente de expressões, trocamos a função por uma variável auxiliar ($\cos x = y$, por exemplo), estudamos o sinal de cada fator num quadro de sinais e só no fim voltamos ao ciclo.

Exemplocos 2x / cos x ≥ 0

Com $y = \cos x$: $\dfrac{2y^2 - 1}{y} \ge 0$. O numerador muda de sinal em $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ e o denominador em $0$; o quadro de sinais mostra que o quociente é $\ge 0$ para $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le y < 0$ ou $y \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$. Cada uma dessas condições sobre $\cos x$ se resolve no ciclo como acima. A resolução completa está no exercício 304.

Os exercícios desta seção são os de números 286 a 310 da lista do capítulo.