Um dos maiores traumas das crianças da escola dos tempos modernos é a equação do segundo grau, em que fazem decorar fórmulas. Essa decoreba fazem com que os alunos odeiem a matemática. Note como é ensiando na escola moderna.

A equação do 2° grau é dada por:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

em que

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Disto, obtemos que as raízes da equação de Bhãskara:

$$x = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$ Exemplo 1.

Obra de Bhãskara

A obra de Bhãskara(em torno de 1070 d.C.), que cita os escritos de Śridhara (em torno de 1030 d.C.), é o que ficou para história como o autor da resolução das equações de 2° grau. O primeiro a trabalhar com este tema foi Al-Khowarizm, em aporximadamente 1000 d.C., que é citado por Śridhara.

Exemplo 1.

Sua obra é conhecida como Lilânvati Vija-Ganita, que pode ser traduzido como bonita matemática.

Obra de Euclides. Obra de Euclides.

Bhãskara chamava a equação do 2° grau como problema de quadrados, que envolviam solução de inventários (partilha de bens de herdeitos).

Partilha de bens. Exemplo 1.

Al-Jabr Wa’l Muquabalah

Do árabe, podemos traduzir Al-Jabr Wa’l como reunir coisas (ossos) e Muqabalah como pesar, comparar (balança). Mais precisamente, Al-Khowarizm’s Mohamed Musa em aproximadamente 1000 d.C. Baghdad Iraque.

…certa quantidade de vasos de água pela certa quantidade de vasos de água mais 10 vezes esta certa quantidade de vasos de água é igual a 39 vasos de água.

Quanto vale esta certa quantidade de vasos de água?…

Obra de Euclides.

Exemplo 1

Obra de Euclides.

Em termos atuais temos:

$$ \begin{aligned} x^2+10x &= 39\\ x^2 + 5x + 5x &= 39 \\ x^2 + 5x + 5x \color{red}{+25} &= 39 \color{red}{+25} \\ (x+5)^2 &= 64 \\ (x+5) (x+5) &= 8 ~.~ 8 \\ \end{aligned} $$
Exemplo 1.

Do esquema de Bhâskara notamos que os 3 quadrados com a icógnita x representam 39. Já o quadrado menor representa uma quantidade de 25. Disto, obtemos que

$$39+25=64$$

Dos conceitos apresentados no post de radiciação, temos:

$$\text{radix} ~ 64 = \sqrt{64} = 8$$

Sabemos que o lado do quadrado tem comprimento 8. Logo

$$ \begin{aligned} x + 5 &= 8\\ x + 5\color{red}{-5}&=8\color{red}{-5}\\ x &=3 \end{aligned} $$

Exemplo 2

Obra de Euclides.

Em termos atuais temos:

$$ \begin{aligned} x^2+8x &= 65\\ x^2 + 4x + 4x&=65 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} x^2+8x &= 65\\ x^2 + 4x + 4x &= 65 \\ x^2 + 4x + 4x \color{red}{+16} &= 65 \color{red}{+16} \\ (x+4)^2 &= 81 \\ (x+4) (x+4) &= 9 ~.~ 9 \\ \end{aligned} $$
Exemplo 2.

Do esquema de Bhâskara notamos que os 3 quadrados com a icógnita x representam 65. Já o quadrado menor representa uma quantidade de 16. Disto, obtemos que

$$65+16=81$$

Dos conceitos apresentados na seção de geometria, temos:

$$\text{radix} ~ 81 = \sqrt{81} = 9$$

Sabemos que o lado do quadrado tem comprimento 9. Logo

$$ \begin{aligned} x + 4 &= 9\\ x + 4\color{red}{-4}&= 9 \color{red}{-4}\\ x &= 5 \end{aligned} $$

Fragmentos históricos

Escritos de Bhâskara.

Obra de Euclides.

Obras dos europeus à partir da obra de Bhãskara

Livro Arithmeticae.

Obra de Euclides. Obra de Euclides.

Obras

Ano Autor Obra Notação histórica
1489 Johann Widman Surge os sinais + e -
1494 Luca Pacioli $$\tilde{m}~\text{(minus) e (plus)} ~\tilde{p}$$
1557 Robert Record Símbolo de igual duas retas paralelas $$=$$
1593 Francis Vieta $$1x^3 + 30x^2+44x = 1560$$
1637 René Descartes Símbolos $$+ ~\text{(plus)},~-- ~\text{(minus)}, \propto ~\text{(igual)}~\text{e}~xx~(x^2)$$

Referências históricas

Igualdade (aequalis) Divisão (partitio)
Igualdade Divisão
Multiplicação (multiplicatio) Potenciação (potestate)
René Descartes René Descartes
Soma (summa) Subtração (subtractio)
René Descartes René Descartes

A obra de Bhãskara é uma das mais usadas atualmente e mostramos conforme originais, como foi a ideia intuitiva para resolução de equações do segundo grau.