Um ponto de equilíbrio é uma n-upla tal que a estratégia mista de cada jogador maximiza o seu ganho se as estratégias dos outros forem mantidas fixas.

— John Nash, Proceedings of the National Academy of Sciences (1950)

Em 1944, John von Neumann e o economista Oskar Morgenstern publicaram Teoria dos Jogos e Comportamento Econômico, um livro enorme que transformava em matemática as decisões estratégicas: jogos de cartas, guerras, mercados. O grande resultado de von Neumann valia para jogos de soma zero entre dois jogadores, em que o que um ganha o outro perde, como o xadrez ou o pôquer. Mas a maior parte da vida não é assim: num acordo comercial, numa negociação ou no trânsito, os dois lados podem ganhar juntos, ou perder juntos.

Em 1949, um estudante de 21 anos encontrou a ideia que servia para qualquer jogo, com qualquer número de jogadores.

A ideia

Num jogo, cada jogador escolhe uma estratégia, e o resultado de cada um depende das escolhas de todos. Um equilíbrio de Nash é uma combinação de estratégias em que nenhum jogador consegue melhorar mudando sozinho de estratégia, com os outros mantendo as deles.

Em símbolos: se $s_i^*$ é a estratégia do jogador $i$, $s_{-i}^*$ reúne as dos outros, e $u_i$ é o ganho do jogador $i$, então

$$\boxed{u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\geq u_i(s_i,s_{-i}^*)\quad\text{para todo jogador }i\text{ e toda estratégia }s_i.}$$

Num equilíbrio, cada um está fazendo o melhor que pode, dado o que os outros estão fazendo. Ninguém se arrepende da própria escolha.

Praça ou café?

Ana e Bruno combinaram de se encontrar à tarde, mas esqueceram de dizer onde, e estão sem celular. Cada um pode ir à praça ou ao café. Os dois preferem o café, mas o mais importante é se encontrarem. Os ganhos, primeiro de Ana e depois de Bruno, são:

Ana / Bruno Praça Café
Praça (2, 2) (0, 0)
Café (0, 0) (3, 3)

Teste cada combinação. Em (Café, Café), se Ana mudar sozinha para a praça, passa de 3 para 0; o mesmo vale para Bruno. Ninguém quer mudar: é um equilíbrio. Em (Praça, Praça), mudar sozinho faz cada um passar de 2 para 0: também é um equilíbrio! Já em (Praça, Café), Ana ganharia indo ao café, então não é equilíbrio.

O jogo tem dois equilíbrios, e um é melhor que o outro para os dois. O conceito de Nash diz quais combinações são estáveis, mas não diz qual delas vai acontecer. Na prática, decide a convenção, o costume, o lugar onde os dois costumam ir.

O dilema dos prisioneiros

Em 1950, no mesmo ano da tese de Nash, dois pesquisadores da RAND Corporation, Merrill Flood e Melvin Dresher, inventaram um jogo para testar a ideia, e o matemático Albert Tucker contou-o como uma história de dois presos. A polícia prende dois cúmplices e os interroga em salas separadas. Cada um pode calar ou delatar o outro. As penas, em anos de prisão, são:

A / B Calar Delatar
Calar (1, 1) (10, 0)
Delatar (0, 10) (5, 5)

Pense como o preso A. Se B calar, A pega 1 ano calando e 0 delatando: melhor delatar. Se B delatar, A pega 10 calando e 5 delatando: melhor delatar. Seja qual for a escolha de B, delatar é melhor para A. O mesmo raciocínio vale para B. O único equilíbrio de Nash é (Delatar, Delatar), com 5 anos para cada um.

Mas se os dois calassem, pegariam só 1 ano cada! O equilíbrio é ruim para os dois, e nenhum deles consegue sair dele sozinho. É o dilema de muitas situações reais: a corrida armamentista, a pesca excessiva, o desmatamento, a poluição. Cada um, agindo no próprio interesse, produz um resultado que ninguém quer.

Exercício: na tabela do encontro, se Ana está na praça e Bruno no café, quem tem incentivo para mudar?

Os dois. Ana, mudando sozinha para o café, passa de 0 para 3; Bruno, mudando sozinho para a praça, passa de 0 para 2. Mas se os dois mudarem ao mesmo tempo, continuam desencontrados. O teste de equilíbrio olha sempre para um jogador mudando de cada vez.

Exercício: no dilema dos prisioneiros, troque a pena de quem cala sozinho de 10 para 3 anos. O equilíbrio muda?

Agora, se B delatar, A pega 3 calando e 5 delatando: melhor calar. Se B calar, A pega 1 calando e 0 delatando: melhor delatar. Delatar deixou de ser sempre melhor. Os equilíbrios em estratégias puras passam a ser (Calar, Delatar) e (Delatar, Calar): cada um prefere fazer o contrário do outro. O resultado de um jogo depende muito dos números da tabela.

Fontes: John F. Nash, “Equilibrium points in n-person games”, Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1950), doi:10.1073/pnas.36.1.48 · William Poundstone, Prisoner’s Dilemma (Doubleday, 1992) · Nobel de Economia de 1994, Fundação Nobel.

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