Euler's Eyes
2026-10-19
Simetrias: uma tabela serve para a volta inteira
No livro interativo: capítulo IV completo, com todas as demonstrações e exercícios.
O espelho da roda
Desenhe um ponto no primeiro quadrante e seu reflexo no segundo. A altura é a mesma, mas a posição horizontal muda de sinal. A simetria nos permite calcular valores de uma volta inteira conhecendo apenas o primeiro quadrante.
Se $\alpha$ está entre $0°$ e $90°$, o ponto correspondente é $(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)$. Reflita-o nos eixos e no centro:
| Ângulo | Coordenadas | Seno | Cosseno |
|---|---|---|---|
| $180°-\alpha$ | $(-\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)$ | $\operatorname{sen}\alpha$ | $-\cos\alpha$ |
| $180°+\alpha$ | $(-\cos\alpha,-\operatorname{sen}\alpha)$ | $-\operatorname{sen}\alpha$ | $-\cos\alpha$ |
| $360°-\alpha$ | $(\cos\alpha,-\operatorname{sen}\alpha)$ | $-\operatorname{sen}\alpha$ | $\cos\alpha$ |
Demonstração: lendo uma reflexão
O ponto de $150°=180°-30°$ é o reflexo do ponto de $30°$ no eixo vertical. Uma reflexão nesse eixo troca $(x,y)$ por $(-x,y)$. Por isso, sem precisar decorar duas novas medidas:
$$\operatorname{sen}150°=\operatorname{sen}30°=\frac12,$$$$\cos150°=-\cos30°=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
A tangente é o quociente dessas medidas. Assim, em $150°$, ela é $-1/\sqrt3=-\sqrt3/3$. O mesmo raciocínio justifica cada linha da tabela.
O mapa dos sinais
No primeiro quadrante, seno e cosseno são positivos. No segundo, seno positivo e cosseno negativo. No terceiro, ambos negativos. No quarto, seno negativo e cosseno positivo. A tangente é positiva quando os dois sinais são iguais e negativa quando são diferentes.
Não aplique essa regra aos eixos como se fossem quadrantes: ali uma coordenada é zero e algumas funções deixam de existir.
Giros negativos, funções pares e ímpares
Os pontos dos ângulos $\theta$ e $-\theta$ são reflexos no eixo horizontal. Portanto:
$$\cos(-\theta)=\cos\theta,\qquad \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}\theta.$$Uma função com $f(-x)=f(x)$ é par; uma com $f(-x)=-f(x)$ é ímpar. Cosseno e secante são pares. Seno, tangente, cotangente e cossecante são ímpares, sempre nos respectivos domínios.
Trocar a altura pela largura
Em um triângulo retângulo, os dois ângulos agudos somam $90°$. O cateto oposto a um é o adjacente ao outro. Assim:
$$\operatorname{sen}(90°-\alpha)=\cos\alpha,$$$$\cos(90°-\alpha)=\operatorname{sen}\alpha.$$
Esse é o motivo do nome cosseno: o seno do complemento. Para as tangentes, $\tan(90°-\alpha)=\cot\alpha$, quando as expressões existem. Em radianos, substitua $90°$, $180°$ e $360°$ por $\pi/2$, $\pi$ e $2\pi$.
Um método em três movimentos
Para estudar $765°$, retire duas voltas: $765°-720°=45°$. Para estudar $225°$, escreva $180°+45°$. Identifique primeiro o quadrante, depois o ângulo de referência e finalmente o sinal da função. Esse método permite conferir o resultado pelo desenho.
No dia a dia
- Rosa dos ventos. Nordeste, noroeste, sudoeste e sudeste são reflexos uns dos outros: conhecida a direção $45^\circ$, as outras três só trocam sinais.
- Calculadora. Antes de calcular $\cos 300^\circ$, a máquina usa a simetria: $\cos 300^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
- Ponteiros do relógio. A posição do ponteiro às 7 h é o reflexo da posição à 1 h em relação ao centro, com as duas coordenadas de sinal trocado.
Exercícios
Tente resolver no caderno antes de abrir a resolução. Os exercícios 1 e 2 são de entrada; 3 e 4, de prática; 5 e 6, de aprofundamento.
1. Calcule $\operatorname{sen}210°$.
Ver resolução 1
$210°=180°+30°$. No terceiro quadrante o seno é negativo: $-1/2$.
2. Calcule $\cos330°$.
Ver resolução 2
$330°=360°-30°$. O cosseno é positivo: $\sqrt3/2$.
3. Calcule $\tan135°$.
Ver resolução 3
$135°=180°-45°$. A tangente é negativa e seu módulo é 1; resultado $-1$.
4. Simplifique $\operatorname{sen}(-\theta)+\operatorname{sen}\theta$.
Ver resolução 4
O seno é ímpar; a soma é $-\operatorname{sen}\theta+\operatorname{sen}\theta=0$.
5. Calcule $\cos765°$.
Ver resolução 5
Retiramos $720°$, ficando $45°$. O resultado é $\sqrt2/2$.
6. Se $\operatorname{sen}20°=a$, escreva $\cos70°$ usando $a$.
Ver resolução 6
Como $70°=90°-20°$, temos $\cos70°=\operatorname{sen}20°=a$.