A gramática das fórmulas: parênteses, ordem e espaço

Em 2019, uma conta de quatro números se espalhou pelas redes sociais e provocou milhões de discussões:

Metade das pessoas respondia $16$; a outra metade, $1$. Calculadoras de marcas diferentes davam respostas diferentes. Professores de matemática se dividiram. E o mais curioso é que os dois lados tinham razão, cada um segundo uma convenção.

Quem responde $16$ lê da esquerda para a direita: $8\div2=4$, e $4\cdot(2+2)=16$. Quem responde $1$ entende que a multiplicação “colada”, sem sinal, $2(2+2)$, forma um bloco que vem antes da divisão: $8\div(2\cdot4)=1$. As duas convenções existem e são usadas em livros sérios. O problema não é de conta. É de sintaxe: a expressão foi escrita de um jeito que não deixa claro como os sinais se agrupam. Um matemático nunca escreveria assim; escreveria $\frac{8}{2}(2+2)$ ou $\frac{8}{2(2+2)}$, e a briga não existiria.

As mesmas peças, montagens diferentes

Uma fórmula não é uma fila de sinais. É uma montagem, e a montagem faz parte do sentido. Compare

As peças são as mesmas: três letras, um $+$ e um $\cdot$. Mas, pela convenção usual, na primeira a multiplicação é feita antes; na segunda, os parênteses obrigam a somar primeiro. Com $a=2$, $b=3$ e $c=4$:

Os parênteses são signos curiosos. Não representam nenhuma quantidade, nenhuma operação, nenhum objeto. Eles só dizem como os outros sinais se juntam. Na classificação de Morris, são puramente sintáticos. E, no entanto, mudam o resultado.

A regra de que a multiplicação vem antes da soma não é uma lei da natureza. É uma convenção que se firmou entre os séculos XVII e XIX, quando a escrita algébrica de Descartes passou a dispensar parênteses em polinômios: em $3x^2+2x+1$, ninguém quer escrever $(3\cdot(x^2))+(2\cdot x)+1$. A convenção existe para que as expressões mais comuns fiquem curtas.

A árvore escondida

Toda expressão tem uma estrutura em árvore, e ler uma fórmula é, no fundo, reconstruir essa árvore. Veja $2(x+3)^2$:

Agora compare com $2x+3^2$, que tem quase as mesmas peças. Aqui, o $3^2$ é calculado sozinho, o $2x$ é outro ramo, e a soma junta os dois no fim. Para $x=1$, a primeira expressão dá $2\cdot16=32$ e a segunda dá $2+9=11$.

A escrita bidimensional ajuda muito a ver a árvore. A barra de fração, por exemplo, é um parêntese disfarçado: em

não precisamos escrever $(x+1)/(x-1)$, porque a posição, em cima e embaixo, já mostra o que se agrupa com o quê. O expoente, lá no alto, e o radical, com a sua barra que cobre tudo o que está embaixo, fazem o mesmo. Na linha única de um teclado, toda essa estrutura precisa voltar para os parênteses, e é por isso que tanta gente erra ao digitar fórmulas em planilhas.

O espaço também é um sinal

Repare nesta expressão: $ab$. Não há nenhum sinal entre $a$ e $b$, e mesmo assim lemos “$a$ vezes $b$”. A justaposição, colocar duas coisas lado a lado, é um sinal de multiplicação invisível. Mas cuidado: em $23$, a justaposição de $2$ e $3$ não significa $2\cdot3$, e sim vinte e três; em $\sin x$, as letras $s$, $i$ e $n$ não são multiplicadas, e sim formam o nome de uma função; e em $f(x)$ o $f$ não multiplica $(x)$, mas é aplicado a ele, enquanto em $a(x+1)$ o $a$ multiplica o parêntese. O mesmo “nada” entre dois sinais tem pelo menos quatro sentidos, e o leitor decide qual pelo tipo dos sinais envolvidos: algarismos, letras, nomes de função.

É por isso que as convenções de tipografia matemática existem. Nomes de funções conhecidas, como $\sin$, $\log$ e $\exp$, são escritos em letra reta, enquanto variáveis vão em itálico: assim $\sin x$ não se confunde com $s\cdot i\cdot n\cdot x$. A diferença entre a letra reta e a inclinada parece um detalhe de impressão, mas é sintaxe.

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