Euler's Eyes
2026-09-26
OBMEP 2023 – 2ª fase – Nível 2: resolução completa
Material oficial: prova completa · soluções da OBMEP · acervo do ano.
As resoluções abaixo seguem a numeração do caderno oficial. Abra a prova para acompanhar os enunciados, as alternativas e os diagramas; as explicações aqui são autorais. Tente cada questão antes de consultar a resposta.
Questão 1 — Cartões e múltiplos
a) Uma possibilidade é $6,2,4,8,1,9,3$. Conferindo os pares, temos divisibilidade em todos: 6 por 2, 4 por 2, 8 por 4, 8 por 1, 9 por 1 e 9 por 3.
b) Com oito cartões: $9,3,6,2,4,8,1,5$. Nenhum número se repete e cada par vizinho satisfaz a regra.
c) Use $5,1,7$ ou sua ordem inversa. Entre os cartões disponíveis, só 1 pode ser vizinho de 5 e só 1 pode ser vizinho de 7.
d) Se usássemos os nove cartões, 5 e 7 teriam de ficar nas pontas, ambos ligados ao 1. Mas isso formaria o trecho inteiro $5,1,7$, sem possibilidade de anexar outro cartão: o 1 já teria seus dois vizinhos. Logo não existe uma sequência com os nove.
Questão 2 — Adições com algarismos iguais
Escreva cada parcela como $111a$, com $1\le a\le9$. Assim basta trabalhar com a soma de três algarismos distintos em ordem crescente.
a) Como $1332=111\cdot12$, podemos escolher $3+4+5=12$: $333+444+555=1332$.
b) Como $2109=111\cdot19$, precisamos de $a c) Seja $s=a+b+c$, com $6\le s\le24$. O transporte das unidades para as dezenas é $u=\lfloor s/10\rfloor$. O transporte seguinte é $v=\lfloor(s+u)/10\rfloor$. Os algarismos das dezenas e centenas vêm de $s+u$ e $s+v$, reduzidos módulo 10. Para $s=6,\ldots,9$, temos $u=v=0$; para $10\le s\le18$, $u=v=1$; para $20\le s\le24$, $u=v=2$. A única exceção é $s=19$, com $u=1$ e $v=2$. O resultado correspondente é $111\cdot19=2109$. a) A sala mede $7\times7$, e os dois tapetes têm área 14 cada. Sua intersecção mede $2\times2=4$. Pela inclusão-exclusão, a área descoberta é $49-(14+14-4)=25\text{ m}^2$. b) Na segunda disposição, use a diagonal MN comum aos tapetes. Ela divide cada tapete em dois triângulos de área 7. Como os tapetes são congruentes, as distâncias de seus vértices a MN são iguais. Se essa distância é $h$, então $MN\cdot h/2=7$. Compare com as duas metades do quarto, de mesma base MN e altura $h$: cada metade tem área $MN\cdot h=14$. Logo o quarto tem $28\text{ m}^2$. c) Denote a área de sobreposição por $I$. A união dos tapetes tem área $14+14-I=28-I$. Como o quarto mede 28, sua parte descoberta mede $28-(28-I)=I$. Assim, as áreas descoberta e sobreposta são iguais. Escreva P para preta e B para branca; as palavras são lidas em círculo, identificando giros e inversões. a) As duas classes são PPBB e PBPB: pretas juntas ou separadas. b) Há três classes, representadas por PPPBBB, PPBPBB e PBPBPB. Classificamos pela maior quantidade de pretas consecutivas: três, duas ou uma. c) Fixe as quatro brancas e registre as quantidades de pretas nos quatro intervalos. A menos de giros e reflexões, todas as possibilidades são
A classificação vem das partições de 4: quatro juntas; três e uma, em intervalos vizinhos ou opostos; dois pares, também vizinhos ou opostos; um par e duas isoladas, com o intervalo vazio vizinho ou oposto ao par; ou todas separadas. Portanto há oito pulseiras. Use as duas regras: somar 5 preserva a cor; um produto branco precisa ter pelo menos um fator branco. a) $38-3=35$ é múltiplo de 5. Voltando sete vezes de 5 em 5, concluímos que 3 é branco. b) Se $4=2\cdot2$ é branco, um dos fatores 2 deve ser branco; como são iguais, 2 é branco. c) Se 1 é branco, 16 também é, pela primeira regra. Como $16=4^2$, 4 é branco, pelo mesmo argumento do item b. d) Mostremos as duas implicações. Se 3 é branco, 8 também é. Em $8=2\cdot4$, ou 2 é branco diretamente, ou 4 é branco e o item b força 2 branco. Reciprocamente, se 2 é branco, 12 também é. Em $12=3\cdot4$, ou 3 é branco, ou 4 é branco. No último caso 9 é branco, por diferir de 4 por 5, e $9=3^2$ força 3 branco. Logo 2 é branco se, e somente se, 3 é branco; caso contrário, ambos são pretos. Nas tabelas abaixo, cada letra representa uma peça de três casas; letras iguais formam um L. Leia as linhas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. a) Uma cobertura completa, respeitando as cinco peças iniciais A a E, é: São 12 peças, cada uma com três casas, sem sobreposição: $12\cdot3=36$. b) Mantenha A e B nas posições dadas e acrescente C, D, E e F: O ponto representa uma casa livre. Para colocar um L, algum bloco $2\times2$ precisaria ter três casas livres. Nesta configuração, cada bloco $2\times2$ tem pelo menos duas ocupadas; logo não cabe uma sétima peça. c) Divida o tabuleiro em nove blocos disjuntos $2\times2$. Cinco peças ocupam somente 15 casas. Se todos os blocos tivessem duas casas ocupadas, seriam necessárias pelo menos 18. Portanto algum bloco tem no máximo uma ocupada e pelo menos três livres. Quaisquer três casas de um bloco $2\times2$ formam um L; assim sempre cabe mais uma peça.
Questão 3 — Tapetes e sobreposição
Questão 4 — Pulseiras
Questão 5 — Regras de coloração
Questão 6 — Peças em L
A A F F G G
B A F H H G
B B E H I I
C C E E J I
C D K J J L
D D K K L L
. A A B B .
. A . . B .
. C C D D .
. C . . D .
. E E F F .
. E . . F .