Euler's Eyes
2026-10-11
Casos (critérios) de semelhança
Para garantir que dois triângulos são semelhantes, não é preciso conferir tudo: bastam dois ângulos, ou três razões entre lados.
Quem descobriu
Os três critérios estão no livro VI dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): triângulos equiângulos têm lados proporcionais (VI.4, o caso AA), triângulos com os três lados proporcionais são semelhantes (VI.5, LLL), e dois lados proporcionais com o ângulo entre eles igual também bastam (VI.6, LAL). Bem antes, a tradição atribui a Tales o uso de triângulos de mesma forma para medir distâncias inacessíveis.
A história
Os critérios de semelhança foram a ferramenta da triangulação, o método que mediu países inteiros. Em 1615, o holandês Willebrord Snellius mediu a distância entre Alkmaar e Bergen op Zoom com uma cadeia de triângulos e estimou o tamanho da Terra. No século XVIII, a família Cassini produziu o primeiro mapa geral da França da mesma forma.
O caso AA é especialmente poderoso: dois ângulos se medem com instrumentos simples, mesmo de longe, e garantem a proporção de todos os lados.
No dia a dia
- Largura de um rio. Marcam-se dois triângulos semelhantes na margem, com estacas e visadas; o lado que atravessa o rio é calculado pela proporção.
- Câmera escura e olho. O objeto e sua imagem formam triângulos semelhantes opostos pelo vértice no orifício (caso AA).
- Rampa e escada. Duas rampas com a mesma inclinação têm perfis semelhantes, qualquer que seja o comprimento.
- Esquadros. Esquadros de tamanhos diferentes, com os mesmos ângulos (45° ou 30° e 60°), são semelhantes.
Fontes: Elementos, proposição VI.4 · Elementos, proposição VI.6 · Snellius (MacTutor).
Teoria e construções
Teorema1º caso — AA (dois ângulos)
Se dois triângulos têm dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes (e, daí, têm os lados homólogos proporcionais).
Demonstração. Se não fossem congruentes, suponha $AB > A^{\prime}B^{\prime}$ e tome $D$ em $\overline{AB}$ com $AD = A^{\prime}B^{\prime}$ e $E$ em $\overline{AC}$ com $\hat{D} \equiv \hat{B}^{\prime}$. Por ALA, $\triangle ADE \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$. Como $\hat{D} \equiv \hat{B}^{\prime} \equiv \hat{B}$, $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$, e pelo teorema fundamental $\triangle ABC \sim \triangle ADE \equiv \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.
Teorema2º caso — LAL (lados proporcionais e ângulo)
Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Teorema3º caso — LLL (três lados proporcionais)
Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.
As demonstrações do 2º e do 3º caso são análogas à do 1º, usando os casos de congruência LAL e LLL no lugar de ALA.
ExemploUm par que não é paralelo
Na figura do livro, $\hat{S} \equiv \hat{B}$, com $AB = 10$ cm, $BC = 8$ cm, $AC = 14$ cm e $AS = 5$ cm; $\overline{RS}$ não é paralela a $\overline{BC}$. Mesmo assim, como $\hat{A}$ é comum, $\triangle ARS \sim \triangle ACB$ (caso AA). Montando a proporção com os lados homólogos — os opostos aos ângulos iguais —:
$$\frac{x}{8} = \frac{5}{10} = \frac{y}{14} \Rightarrow RS = x = 4 \text{ cm e } AR = y = 7 \text{ cm}.$$ResumoSe a razão de semelhança é k
Então valem a razão $k$ entre: lados homólogos, perímetros, alturas homólogas, medianas homólogas, bissetrizes internas homólogas, raios dos círculos inscritos e circunscritos — qualquer par de elementos lineares homólogos —, e os ângulos homólogos são congruentes.
