Pitágoras no círculo

O ponto $P=(\cos x,\sin x)$ está a uma unidade da origem. As projeções nos eixos formam um triângulo retângulo com catetos $|\cos x|$ e $|\sin x|$. Aplicando Pitágoras, obtemos:

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

Nos eixos, a igualdade se verifica diretamente: uma coordenada é zero e a outra tem módulo 1. Portanto, a identidade vale para todo real $x$.

Reunir as relações

As definições e a identidade anterior fornecem:

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x},$$

$$\sec x=\frac1{\cos x},\quad\csc x=\frac1{\sin x}.$$

Dividir a identidade fundamental por $\cos^2x$ exige $\cos x\ne0$ e dá:

$$1+\tan^2x=\sec^2x.$$

Dividir por $\sin^2x$, com $\sin x\ne0$, dá:

$$1+\cot^2x=\csc^2x.$$

Quando seno e cosseno não são zero, vale ainda $\tan x\cot x=1$. Esses resultados não dispensam as condições dos denominadores.

Exemplo: recuperar as outras funções

Suponha $\sin x=5/13$ e $x$ no segundo quadrante. Então:

$$\cos^2x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}.$$

O cosseno é negativo nesse quadrante, portanto $\cos x=-12/13$. Segue que:

$$\tan x=-\frac5{12},\quad\cot x=-\frac{12}{5},\quad \sec x=-\frac{13}{12},\quad\csc x=\frac{13}{5}.$$

A raiz do quadrado fornece duas possibilidades de sinal; o quadrante é o dado que permite escolher.

Um alerta sobre a notação

$\sin^2x$ significa $(\sin x)^2$. Já $\sin(x^2)$ aplica seno ao quadrado da entrada e é uma função diferente. Do mesmo modo, uma identidade entre quadrados não permite igualar diretamente os valores sem considerar os sinais.

No dia a dia

  • Plano inclinado. As componentes $P\operatorname{sen}\alpha$ e $P\cos\alpha$ do peso numa rampa recompõem o peso pela relação fundamental.
  • Energia elétrica. Potência ativa, reativa e aparente formam um triângulo retângulo: $S^2 = P^2 + Q^2$, com $P = S\cos\varphi$ e $Q = S\operatorname{sen}\varphi$.
  • Recuperar dados. Se um sensor mede só o cosseno de um ângulo, a relação fundamental devolve o seno — falta apenas o sinal, que vem do quadrante.
Seno e cosseno de um mesmo ângulo recompõem a diagonal da tela.

Exercícios com resolução

1. Se $\tan x=3/4$, calcule $\sec^2x$.

Conferir resolução 1

$\sec^2x=1+9/16=25/16$. O quadrado foi determinado; o sinal da secante depende do quadrante.

2. Se $\cos x=-3/5$ e $x$ está no terceiro quadrante, calcule o seno.

Conferir resolução 2

$\sin^2x=1-9/25=16/25$. No terceiro quadrante, $\sin x=-4/5$.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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