Exercícios do capítulo 4 — Triângulos

Se o $\triangle ABC$ é isósceles de base $\overline{BC}$, determine $x$, sendo $AB = 2x - 7$ e $AC = x + 5$.

O triângulo $ABC$ é equilátero, com $AB = 15 - y$, $BC = 2x - 7$ e $AC = 9$. Determine $x$ e $y$.

Se o $\triangle ABC$ é isósceles de base $\overline{BC}$, determine $BC$, sendo $AB = 3x - 10$, $BC = 2x + 4$ e $AC = x + 4$.

Se o $\triangle ABC$ é isósceles de base $\overline{BC}$, determine $x$, sendo $\hat{B} = 2x - 10^{\circ}$ e $\hat{C} = 30^{\circ}$.

Se o $\triangle ABC$ é isósceles de base $\overline{AC}$, determine $x$, sendo $\hat{A} = x + 30^{\circ}$ e $\hat{C} = 2x - 20^{\circ}$.

Se o $\triangle ABC$ é isósceles de base $\overline{BC}$, determine $x$ e $y$.

Determine $x$ e $y$, sabendo que o triângulo $ABC$ é equilátero.

Se o perímetro de um triângulo equilátero é de 75 cm, quanto mede cada lado?

Se o perímetro de um triângulo isósceles é de 100 m e a base mede 40 m, quanto mede cada um dos outros lados?

Determine o perímetro do triângulo $ABC$ nos casos:

a) triângulo equilátero com $AB = x + 2y$, $AC = 2x - y$ e $BC = x + y + 3$; b) triângulo isósceles de base $\overline{BC}$ com $AB = 2x + 3$, $AC = 3x - 3$ e $BC = x + 3$.

Num triângulo isósceles, o semiperímetro vale 7,5 m. Calcule os lados desse triângulo, sabendo que a soma dos lados congruentes é o quádruplo da base.

Os pares de triângulos de cada item são congruentes. Indique o caso de congruência. (Tracinhos iguais indicam lados congruentes; arcos iguais, ângulos congruentes.)

Considere os triângulos $T_1, T_2, \ldots, T_{12}$. Encontre os pares de triângulos congruentes e indique o caso de congruência. Jogue: clique em dois triângulos para formar um par.

Nos casos a), b) e c), selecione os triângulos congruentes e indique o caso de congruência.

Indique nas figuras abaixo os triângulos congruentes, citando o caso de congruência. Em c), $\overline{AC} \equiv \overline{DF}$ e $\overline{AB} \equiv \overline{DE}$.

Por que ALL ou LLA não é caso de congruência entre triângulos?

Na figura, o triângulo $ABC$ é congruente ao triângulo $DEC$. Determine $\alpha$ e $\beta$, sendo $\hat{A} = 3\alpha$, $\hat{B} = \beta + 48^{\circ}$, $\hat{E} = 5\beta$ e $\hat{D} = 2\alpha + 10^{\circ}$.

Na figura, o triângulo $ABD$ é congruente ao triângulo $CBD$. Calcule $x$ e $y$ e os lados do triângulo $ACD$, sendo $AB = x$, $BC = 2y$, $CD = 3y + 8$ e $DA = 2x$.

Na figura, o triângulo $CBA$ é congruente ao triângulo $CDE$. Determine o valor de $x$ e $y$ e a razão entre os perímetros desses triângulos, sendo $AB = 35$, $AC = 2x - 6$, $CE = 22$ e $DE = 3y + 5$.

Na figura, o triângulo $PCD$ é congruente ao triângulo $PBA$. Determine $x$ e $y$ e a razão entre os perímetros dos triângulos $PCA$ e $PBD$, sendo $AB = 15$, $CD = x + 5$, $AP = 2y + 17$ e $PD = 3y - 2$.

Na figura, os triângulos $ABC$ e $CDA$ são congruentes. Calcule $x$ e $y$.

Na figura, sabendo que $C$ é ponto médio de $\overline{BE}$, prove que os triângulos $ABC$ e $DEC$ são congruentes.

Na figura, sabendo que $\alpha \equiv \beta$ e $\gamma \equiv \delta$, prove que os triângulos $ABC$ e $CDA$ são congruentes.

Se $\alpha \equiv \beta$ e $\varphi \equiv \theta$, demonstre que o triângulo $ABC$ é congruente ao triângulo $ABD$.

Na figura, sendo $\overline{BF} \equiv \overline{CD}$, $m(A\hat{B}C) = m(F\hat{D}E)$ e $m(B\hat{A}C) = m(D\hat{E}F)$, prove que $\overline{AC} \equiv \overline{EF}$.

Sendo $\overline{AB} \equiv \overline{AE}$, $m(B\hat{A}D) = m(C\hat{A}E)$, $m(A\hat{B}C) = 90^{\circ}$ e $m(A\hat{E}D) = 90^{\circ}$, prove que $\overline{BC} \equiv \overline{DE}$. (Na figura do livro, $C$ e $D$ estão do mesmo lado, com $\overline{AC}$ cortando $\overline{ED}$.)

Demonstre que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é também bissetriz.

Prove que a bissetriz relativa à base de um triângulo isósceles é também mediana.

Prove que as medianas relativas aos lados congruentes de um triângulo isósceles são congruentes.

Prove que as bissetrizes relativas aos lados congruentes de um triângulo isósceles são congruentes.

Prove que, se a bissetriz relativa a um lado de um triângulo é também mediana relativa a esse lado, então esse triângulo é isósceles.

Com segmentos de 8 cm, 5 cm e 18 cm pode-se construir um triângulo? Por quê? (Teste na figura da desigualdade triangular.)

Dois lados, $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$, de um triângulo $ABC$ medem respectivamente 8 cm e 21 cm. Quanto poderá medir o terceiro lado, sabendo que é múltiplo de 6?

Determine o intervalo de variação de $x$, sabendo que os lados de um triângulo são expressos por $x + 10$, $2x + 4$ e $20 - 2x$.

Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38 cm e 14 cm, qual poderá ser a medida do terceiro lado?

O lado $\overline{AB}$ de um triângulo $ABC$ é expresso por um número inteiro. Determine o seu valor máximo, sabendo que os lados $\overline{AC}$ e $\overline{BC}$ medem respectivamente 27 cm e 16 cm e que $\hat{C} < \hat{A} < \hat{B}$.

Mostre que o triângulo retângulo tem dois ângulos agudos.

Mostre que a hipotenusa de um triângulo retângulo é maior que cada um dos catetos.

Mostre que o triângulo obtusângulo tem dois ângulos agudos.

Mostre que o lado oposto ao ângulo obtuso de um triângulo obtusângulo é maior que cada um dos outros lados.

Mostre que a hipotenusa de um triângulo retângulo é maior que a semissoma dos catetos.

Prove que qualquer lado de um triângulo é menor que o semiperímetro.

Se $P$ é um ponto interno de um triângulo $ABC$, mostre que $B\hat{P}C$ é maior que $B\hat{A}C$.

Se $P$ é um ponto interno de um triângulo $ABC$, mostre que $PB + PC < AB + AC$.

Se $P$ é um ponto interno de um triângulo $ABC$ e $x = PA$, $y = PB$ e $z = PC$, mostre que $x + y + z$ está entre o semiperímetro e o perímetro do triângulo.

Demonstre que o perímetro do triângulo $MNP$ é menor que o perímetro do triângulo $ABC$ da figura.

Se $m_a$ é a mediana relativa ao lado $a$ de um triângulo de lados $a$, $b$ e $c$, então $m_a < \dfrac{b + c}{2}$.

Prove que a soma das medianas de um triângulo é menor que o perímetro e maior que o semiperímetro.