Euler's Eyes
2026-10-11
Retas concorrentes
Duas retas diferentes que se cruzam têm exatamente um ponto em comum. Parece óbvio — e foi justamente por isso que demorou a ser escrito.
Quem descobriu
Os geômetras gregos usavam o fato o tempo todo, mas Euclides não o colocou entre seus postulados. Algumas edições antigas dos Elementos acrescentaram a frase “duas retas não encerram um espaço” para cobrir a lacuna; o filólogo J. L. Heiberg, que fez a edição crítica da obra no fim do século XIX, considerou esse trecho um acréscimo posterior. A versão moderna vem dos axiomas de incidência de David Hilbert (1899): se duas retas distintas tivessem dois pontos comuns, contrariariam o postulado de que dois pontos determinam uma única reta.
A história
O exemplo mostra como a geometria amadureceu. Um desenho convence qualquer pessoa de que duas retas se cortam num ponto só, mas um desenho não é uma prova. Os comentadores antigos e medievais foram anotando os pontos em que Euclides confiava na figura; no século XIX esses pontos foram transformados em axiomas ou teoremas.
Hoje a demonstração cabe em uma linha: basta usar o postulado da determinação. É um bom primeiro exemplo de prova por absurdo, um método que aparecerá muitas vezes neste livro.
No dia a dia
- Cruzamentos. Duas ruas retas se encontram em um único cruzamento; o endereço “esquina da rua A com a rua B” identifica um lugar só.
- Achar o centro de um quadro. Marcar as duas diagonais de um retângulo com barbante: o único ponto de encontro é o centro, onde vai o prego.
- Mira e retícula. A cruz de uma luneta ou de uma câmera usa duas retas concorrentes para marcar um ponto exato no alvo.
- Tesoura. As lâminas giram em torno do único ponto comum, o parafuso.
Fontes: Elementos, livro I (D. Joyce) · Hilbert (MacTutor).
Teoria e construções
DefiniçãoRetas concorrentes
Duas retas são concorrentes se, e somente se, têm um único ponto comum:
$$r \cap s = \lbrace P \rbrace$$Será que existem retas concorrentes? Os postulados permitem construí-las. Acompanhe a demonstração e depois refaça a construção na figura.
Existência de retas concorrentes
- Pelo postulado da existência, tomamos uma reta $r$, um ponto $P \in r$ e um ponto $Q \notin r$.
- $P$ e $Q$ são distintos, pois um deles pertence a $r$ e o outro não.
- Pelo postulado da determinação, $P$ e $Q$ determinam a reta $s = \overleftrightarrow{PQ}$.
- As retas $r$ e $s$ são distintas: se coincidissem, $Q$ estaria em $r$ — mas ele foi escolhido fora de $r$.
- As retas distintas $r$ e $s$ têm o ponto $P$ em comum. Se tivessem outro ponto comum, seriam a mesma reta (postulado da determinação). Logo $r \cap s = \lbrace P \rbrace$: $r$ e $s$ são concorrentes.
ResumoO que guardar
| Ideia | Enunciado curto |
|---|---|
| Noções primitivas | ponto, reta e plano não são definidos |
| Postulado da existência | há infinitos pontos numa reta, fora dela e num plano |
| Determinação da reta | dois pontos distintos determinam uma reta |
| Determinação do plano | três pontos não colineares determinam um plano |
| Inclusão | reta com dois pontos num plano está contida nele |
| Concorrentes | duas retas com um único ponto comum |