Fonte: FUVEST – prova de Conhecimentos Gerais, versão V e gabarito oficial retificado da 1ª fase (aplicada em 12/12/2021).

A 1ª fase da FUVEST 2022 teve 90 questões de todas as disciplinas. Este post traz as 12 questões de matemática, que na prova V são as questões 30 a 41. Nas outras versões (K, Q, X e Z) as mesmas questões aparecem com outra numeração e outra ordem de alternativas, então confira sempre a versão da sua prova.

Gabarito

Questão Assunto Gabarito
30 Princípio multiplicativo: placas de carro C
31 Sistemas de numeração posicional A
32 Proporção: velocidade e tempo C
33 Porcentagem e tabelas C
34 Equação do 2º grau: divisão de um presente D
35 Progressão aritmética: custo de um poço B
36 Poliedros: relação de Euler E
37 Trigonometria: lei dos cossenos A
38 Polinômios: relações de Girard E
39 Geometria plana: fita em volta de tanques B
40 Ordem de grandeza e unidades D
41 Logaritmos: leitura de gráfico D

Questão 30: Placas Mercosul × sistema anterior (princípio multiplicativo)

Enunciado

Atualmente, no Brasil, coexistem dois sistemas de placas de identificação de automóveis: o padrão Mercosul (o mais recente) e aquele que se iniciou em 1990 (o sistema anterior, usado ainda pela maioria dos carros em circulação). No sistema anterior, utilizavam-se 3 letras (em um alfabeto de 26 letras) seguidas de 4 algarismos (de 0 a 9). No padrão Mercosul adotado no Brasil para automóveis, são usadas 4 letras e 3 algarismos, com 3 letras nas primeiras 3 posições e a quarta letra na quinta posição, podendo haver repetições de letras ou de números. A figura ilustra os dois tipos de placas.

Dessa forma, o número de placas possíveis do padrão Mercosul brasileiro de automóveis é maior do que o do sistema anterior em

  • A) 1,5 vezes.
  • B) 2 vezes.
  • C) 2,6 vezes.
  • D) 2,8 vezes.
  • E) 3 vezes.

Resolução

1. Placas do sistema anterior. São 7 posições: 3 letras (26 opções cada) e 4 algarismos (10 opções cada). Como pode haver repetição, pelo princípio multiplicativo:

$$N_{\text{ant}} = 26^3 \cdot 10^4$$

2. Placas do padrão Mercosul. Também são 7 posições, mas agora 4 letras e 3 algarismos (a posição da quarta letra não muda a conta):

$$N_{\text{Merc}} = 26^4 \cdot 10^3$$

3. Razão entre os dois. Não é preciso fazer as contas grandes: basta dividir.

$$\frac{N_{\text{Merc}}}{N_{\text{ant}}} = \frac{26^4 \cdot 10^3}{26^3 \cdot 10^4} = \frac{26}{10} = 2{,}6$$

Faz sentido: trocamos uma posição com 10 opções (algarismo) por uma com 26 opções (letra), e o total fica multiplicado por $\frac{26}{10}$.

Resposta: alternativa C (2,6 vezes).

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Questão 31: Número 91625 no sistema chinês em barras

Enunciado

O sistema de numeração conhecido como chinês científico (ou em barras) surgiu provavelmente há mais de dois milênios. O sistema é essencialmente posicional, de base 10, com o primeiro algarismo à direita representando a unidade. A primeira linha horizontal de símbolos da figura mostra como se representam os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 quando aparecem em posições ímpares (unidades, centenas etc.), e a segunda linha quando tais algarismos aparecem em posições pares (dezenas, milhares etc.). Nesse sistema, passou-se a usar um círculo para representar o algarismo zero a partir da Dinastia Sung (960-1126).

Howard Eves, Introdução à História da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Editora Unicamp, 2011 (5ª ed.).

Assinale a alternativa que representa o número 91625 nesse sistema de numeração.

Resolução

1. Posição de cada algarismo. Contando da direita para a esquerda, a partir da unidade:

Algarismo 9 1 6 2 5
Posição 5ª (dezena de milhar) 4ª (milhar) 3ª (centena) 2ª (dezena) 1ª (unidade)
Paridade ímpar par ímpar par ímpar

2. Escolha do símbolo. Posição ímpar usa a primeira linha da figura (barras verticais; de 6 a 9, um traço horizontal em cima). Posição par usa a segunda linha (barras horizontais; de 6 a 9, um traço vertical em cima).

  • 9 na posição ímpar: traço horizontal em cima de quatro barras verticais;
  • 1 na posição par: uma barra horizontal;
  • 6 na posição ímpar: traço horizontal sobre uma barra vertical (forma de “T”);
  • 2 na posição par: duas barras horizontais;
  • 5 na posição ímpar: cinco barras verticais.

3. Comparando com as alternativas. Só a alternativa A tem exatamente essa sequência. As outras erram a forma de algum algarismo: B e C escrevem o 1 com barra vertical (forma de posição ímpar); B escreve o 6 na forma de posição par; C escreve o 2 com barras verticais; D e E escrevem o 9 na forma de posição par, e E ainda escreve o 5 com barras horizontais.

Resposta: alternativa A.

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Questão 32: Vídeo em velocidade 1,5×

Enunciado

Um vídeo tem três minutos de duração. Se o vídeo for reproduzido, desde o seu início, com velocidade de 1,5 vezes a velocidade original, o tempo de reprodução do vídeo inteiro será de

  • A) 1min30s.
  • B) 1min50s.
  • C) 2min00s.
  • D) 2min30s.
  • E) 2min50s.

Resolução

1. Velocidade e tempo são inversamente proporcionais. O “conteúdo” do vídeo é sempre o mesmo. Se ele passa 1,5 vez mais rápido, o tempo fica dividido por 1,5.

2. Conta em segundos. Três minutos são 180 s:

$$t = \frac{180}{1{,}5} = 120 \text{ s} = 2 \text{ min}$$

Resposta: alternativa C (2min00s).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa A (1min30s) é o que se obtém dividindo por 2, como se a velocidade fosse dobrada, ou subtraindo 1,5 de 3. Com velocidade 1,5×, o tempo é dividido por 1,5, e não reduzido pela metade.

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Questão 33: Cadeiras com defeito por cor (porcentagem)

Enunciado

Uma indústria produz três modelos de cadeiras (indicadas por $M_1$, $M_2$ e $M_3$), cada um deles em duas opções de cores: preta e vermelha (indicadas por P e V, respectivamente). A tabela mostra o número de cadeiras produzidas semanalmente conforme a cor e o modelo:

P V
$M_1$ 500 200
$M_2$ 400 220
$M_3$ 250 300

As porcentagens de cadeiras com defeito são de 2% do modelo $M_1$, 5% do modelo $M_2$ e 8% do modelo $M_3$. As cadeiras que não apresentam defeito são denominadas boas.

A tabela que indica o número de cadeiras produzidas semanalmente com defeito (D) e boas (B), de acordo com a cor, é:

A)

P V
D 55 39
B 1095 681

B)

P V
D 51 40
B 1099 680

C)

P V
D 50 39
B 1100 681

D)

P V
D 50 37
B 1100 683

E)

P V
D 51 39
B 1099 681

Resolução

1. Defeituosas pretas. Aplicamos a porcentagem de cada modelo à sua produção de cadeiras pretas:

$$0{,}02 \cdot 500 + 0{,}05 \cdot 400 + 0{,}08 \cdot 250 = 10 + 20 + 20 = 50$$

2. Defeituosas vermelhas.

$$0{,}02 \cdot 200 + 0{,}05 \cdot 220 + 0{,}08 \cdot 300 = 4 + 11 + 24 = 39$$

3. Boas. Total de pretas: $500 + 400 + 250 = 1150$; boas pretas: $1150 - 50 = 1100$. Total de vermelhas: $200 + 220 + 300 = 720$; boas vermelhas: $720 - 39 = 681$.

A tabela fica: D = 50 (P) e 39 (V); B = 1100 (P) e 681 (V).

Resposta: alternativa C.

Cuidado com a pegadinha: repare que em todas as alternativas as colunas somam 1150 e 720; o que diferencia uma da outra é só a conta das defeituosas. Calcule a porcentagem modelo a modelo; usar uma porcentagem “média” para todas as cadeiras dá valores errados.

Para revisar, veja Básico de Porcentagem.

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Questão 34: Divisão do presente no salão de beleza (equação do 2º grau)

Enunciado

Os funcionários de um salão de beleza compraram um presente no valor de R$ 200,00 para a recepcionista do estabelecimento. No momento da divisão igualitária do valor, dois deles desistiram de participar e, por causa disso, cada pessoa que ficou no grupo precisou pagar R$ 5,00 a mais que a quantia originalmente prevista. O valor pago por pessoa que permaneceu na divisão do custo do presente foi:

  • A) R$ 10,00
  • B) R$ 15,00
  • C) R$ 20,00
  • D) R$ 25,00
  • E) R$ 40,00

Resolução

1. Montando a equação. Seja $n$ o número inicial de funcionários. A cota prevista era $\frac{200}{n}$; com $n - 2$ pessoas, a cota passou a ser $\frac{200}{n-2}$, que é 5 reais a mais:

$$\frac{200}{n-2} - \frac{200}{n} = 5$$

2. Resolvendo. Multiplicando tudo por $n(n-2)$:

$$200n - 200(n-2) = 5n(n-2) \quad\Rightarrow\quad 400 = 5n^2 - 10n$$$$n^2 - 2n - 80 = 0 \quad\Rightarrow\quad n = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} = \frac{2 \pm 18}{2}$$

Como $n > 0$, $n = 10$.

3. Valor pago por quem ficou. Ficaram $10 - 2 = 8$ pessoas:

$$\frac{200}{8} = 25$$

Conferindo: a cota prevista era $\frac{200}{10} = 20$, e $25 = 20 + 5$. ✓

Resposta: alternativa D (R$ 25,00).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa C (R$ 20,00) é a cota original, com 10 pessoas. A pergunta é quanto pagou quem permaneceu na divisão.

Para revisar, veja Equação do 2° grau.

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Questão 35: Profundidade do poço (soma de PA)

Enunciado

Uma empresa construiu um poço para armazenar água de reúso. O custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construção foi de R$ 48.600,00, a profundidade do poço é:

  • A) 15 m
  • B) 18 m
  • C) 21 m
  • D) 24 m
  • E) 27 m

Resolução

1. Os custos formam uma PA. O custo de cada metro é $1000, 1200, 1400, \ldots$: uma progressão aritmética com $a_1 = 1000$ e razão $r = 200$. O custo do $n$-ésimo metro é

$$a_n = 1000 + 200(n-1) = 800 + 200n$$

2. Soma dos $n$ primeiros termos.

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(1000 + 800 + 200n) \cdot n}{2} = (900 + 100n) \cdot n$$

3. Igualando ao custo total.

$$100n^2 + 900n = 48\thinspace 600 \quad\Rightarrow\quad n^2 + 9n - 486 = 0$$$$n = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 1944}}{2} = \frac{-9 \pm 45}{2}$$

A raiz positiva é $n = 18$.

Conferindo: $a_{18} = 800 + 3600 = 4400$ e $S_{18} = \frac{(1000 + 4400) \cdot 18}{2} = 5400 \cdot 9 = 48\thinspace 600$. ✓

Resposta: alternativa B (18 m).

Para revisar, veja Progressão Aritimética.

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Questão 36: Faces de um deltaedro com 8 vértices (relação de Euler)

Enunciado

Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Se um deltaedro convexo possui 8 vértices, então o número de faces desse deltaedro é:

  • A) 4
  • B) 6
  • C) 8
  • D) 10
  • E) 12

Note e adote: Em poliedros convexos, vale a relação de Euler $F - A + V = 2$, em que $F$ é o número de faces, $A$ é o número de arestas e $V$ é o número de vértices do poliedro.

Resolução

1. Contando arestas pelas faces. Cada face é um triângulo, com 3 arestas. Se somarmos $3F$, cada aresta é contada duas vezes (ela é compartilhada por duas faces). Logo

$$3F = 2A \quad\Rightarrow\quad A = \frac{3F}{2}$$

2. Relação de Euler com $V = 8$.

$$F - \frac{3F}{2} + 8 = 2 \quad\Rightarrow\quad -\frac{F}{2} = -6 \quad\Rightarrow\quad F = 12$$

Então $A = 18$. (Esse poliedro existe: é o chamado disfenoide achatado, com 12 faces triangulares.)

Resposta: alternativa E (12 faces).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa C (8) repete o número de vértices; o octaedro regular tem 8 faces, mas só 6 vértices.

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Questão 37: Ângulo máximo entre um quadrado e um círculo (lei dos cossenos)

Enunciado

A figura mostra um quadrado e um círculo, ambos com centro no ponto $O$. O quadrado tem lado medindo 1 unidade de medida (u.m.) e o círculo tem raio igual a 2 u.m. O ponto $A$ está sobre o contorno do quadrado, o ponto $B$ está sobre o contorno do círculo, e o segmento $AB$ tem tamanho 2 u.m.

Quando o ângulo $\theta = A\hat{O}B$ for máximo, seu cosseno será:

  • A) $\frac{1}{8}$
  • B) $\frac{1}{4}$
  • C) $\frac{1}{2}$
  • D) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
  • E) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Resolução

1. O que varia. No triângulo $OAB$ temos $OB = 2$ (raio) e $AB = 2$ (dado). O que muda conforme $A$ percorre o quadrado é $r = OA$. A distância do centro ao contorno do quadrado de lado 1 vai de $\frac{1}{2}$ (ponto médio de um lado) até $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (vértice):

$$\frac{1}{2} \le r \le \frac{\sqrt{2}}{2}$$

2. Lei dos cossenos no triângulo $OAB$ (ângulo $\theta$ em $O$, oposto ao lado $AB$):

$$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos\theta$$$$4 = r^2 + 4 - 4r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = \frac{r}{4}$$

(Outra forma de ver: como $OB = AB = 2$, o triângulo é isósceles de base $OA$; a altura por $B$ cai no ponto médio de $OA$, e então $\cos\theta = \frac{r/2}{2} = \frac{r}{4}$.)

3. Maximizando o ângulo. Para $0 < \theta < 180°$, quanto maior o ângulo, menor o cosseno. Então $\theta$ é máximo quando $\cos\theta = \frac{r}{4}$ é mínimo, isto é, quando $r$ é mínimo: $r = \frac{1}{2}$.

$$\cos\theta_{\max} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}$$

Resposta: alternativa A ($\frac{1}{8}$).

Cuidado com a pegadinha: a tendência é pegar o ponto $A$ no vértice do quadrado, “o mais longe possível”. Isso dá $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{8}$, que corresponde ao ângulo mínimo. Ângulo máximo é cosseno mínimo.

Para revisar, veja Teorema para triângulos quaisquer.

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Questão 38: Polinômio com raiz dupla (relações de Girard)

Enunciado

Suponha que o polinômio $p(x) = x^3 + mx - 2$, em que $m$ é um número real, tenha uma raiz real dupla $a$ e uma raiz real simples $b$. O valor da soma de $m$ com $a$ é:

  • A) 0
  • B) $-1$
  • C) $-2$
  • D) $-3$
  • E) $-4$

Resolução

As raízes de $p$ são $a$, $a$ e $b$. Pelas relações de Girard para $x^3 + 0x^2 + mx - 2$:

1. Soma das raízes (o coeficiente de $x^2$ é zero):

$$a + a + b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -2a$$

2. Produto das raízes:

$$a \cdot a \cdot b = -\frac{-2}{1} = 2 \quad\Rightarrow\quad a^2(-2a) = 2 \quad\Rightarrow\quad a^3 = -1 \quad\Rightarrow\quad a = -1$$

Logo $b = 2$.

3. Soma dos produtos dois a dois (dá o coeficiente $m$):

$$m = a \cdot a + a \cdot b + a \cdot b = a^2 + 2ab = 1 + 2(-1)(2) = -3$$

Conferindo: $p(x) = x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2)$. ✓

4. A soma pedida: $m + a = -3 + (-1) = -4$.

Resposta: alternativa E ($-4$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D ($-3$) é só o valor de $m$; a questão pede $m + a$.

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Questão 39: Fita em volta de quatro tanques cilíndricos

Enunciado

Quatro tanques cilíndricos são vistos de cima (em planta baixa) conforme a figura. Todos têm 10 m de raio e seus centros se posicionam em vértices dos dois quadrados tracejados adjacentes, ambos com 30 m de lado. Uma fita de isolamento, esticada e paralela ao solo, envolve os 4 tanques, dando uma volta completa (linha em laranja na figura).

O comprimento da fita, em metros, é:

  • A) $20\pi + 30(3 + \sqrt{2})$
  • B) $20\pi + 30(4 + \sqrt{2})$
  • C) $25\pi + 15(4 + \sqrt{2})$
  • D) $25\pi + 30(4 + \sqrt{2})$
  • E) $25\pi + 30(4 + 2\sqrt{2})$

Resolução

A fita é formada por trechos retos (tangentes a dois tanques) e arcos de circunferência (onde ela encosta num tanque).

1. Trechos retos. Cada trecho reto é paralelo ao segmento que liga os centros dos dois tanques que ele tangencia, e tem o mesmo comprimento desse segmento (os dois raios perpendiculares à fita formam um retângulo com ele). Pela figura, a fita passa por fora de 4 centros: o de cima à esquerda, os dois de baixo e o do meio à direita. Os segmentos entre centros consecutivos são:

  • lado esquerdo: dois lados de quadrado, $30 + 30 = 60$;
  • lado de baixo: $30$;
  • lado direito (de baixo até o meio): $30$;
  • diagonal do quadrado de cima: $30\sqrt{2}$.

Total reto: $60 + 30 + 30 + 30\sqrt{2} = 120 + 30\sqrt{2} = 30(4 + \sqrt{2})$.

2. Arcos. Em cada tanque, o arco vai de um trecho reto ao seguinte e seu ângulo central é igual ao ângulo em que a fita “vira” naquele ponto. Dando uma volta completa, a fita vira no total $360°$. Então os quatro arcos juntos formam uma circunferência completa de raio 10:

$$2\pi \cdot 10 = 20\pi$$

(Conferindo: os ângulos de giro são $90°$, $90°$, $135°$ e $45°$, que somam $360°$.)

3. Comprimento da fita.

$$L = 20\pi + 30(4 + \sqrt{2}) \text{ m}$$

Resposta: alternativa B.

Cuidado com a pegadinha: não é preciso calcular cada arco separadamente: numa fita que envolve figuras convexas, os arcos sempre somam exatamente uma volta completa. Com raio 10, isso dá $20\pi$; o $25\pi$ das alternativas C, D e E não corresponde a isso.

Para revisar, veja Circunferências.

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Questão 40: Nanoscópio – razão entre micrômetro e nanômetro

Enunciado

Em fevereiro de 2021, um grupo de físicos da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) publicou um artigo que foi capa da importante revista Nature. O texto a seguir foi retirado de uma reportagem do site da UFMG sobre o artigo:

O nanoscópio, prossegue Ado Jorio (professor da UFMG), ilumina a amostra com um microscópio óptico usual. O foco da luz tem o tamanho de um círculo de 1 micrômetro de diâmetro. “O que o nanoscópio faz é inserir uma nanoantena, que tem uma ponta com diâmetro de 10 nanômetros, dentro desse foco de 1 micrômetro e escanear essa ponta. A imagem com resolução nanométrica é formada por esse processo de escaneamento da nanoantena, que localiza o campo eletromagnético da luz em seu ápice”, afirma o professor.

Itamar Rigueira Jr. “Nanoscópio da UFMG possibilita compreender estrutura que torna grafeno supercondutor”. Adaptado. Disponível em https://ufmg.br/comunicacao/noticias/. Gadelha A C et al. (2021), Nature, 590, 405-409, doi: 10.1038/s41586-021-03252-5.

Com base nos dados mencionados no texto, a razão entre o diâmetro do foco da luz de um microscópio óptico usual e o diâmetro da ponta da nanoantena utilizada no nanoscópio é da ordem de:

  • A) 0,0001
  • B) 0,01
  • C) 1
  • D) 100
  • E) 10000

Resolução

1. Mesma unidade. $1 \text{ micrômetro} = 10^{-6}$ m e $1 \text{ nanômetro} = 10^{-9}$ m. Logo $1 \text{ µm} = 10^3 \text{ nm} = 1000 \text{ nm}$.

2. A razão pedida (foco ÷ ponta, nessa ordem):

$$\frac{1000 \text{ nm}}{10 \text{ nm}} = 100$$

Resposta: alternativa D (100).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B (0,01) é a razão invertida (ponta ÷ foco). A ordem das palavras no enunciado define o numerador: “razão entre o diâmetro do foco […] e o diâmetro da ponta”.

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Questão 41: Crescimento de bactérias em escala logarítmica

Enunciado

A quantidade de bactérias em um líquido é diretamente proporcional à medida da turbidez desse líquido. O gráfico mostra, em escala logarítmica, o crescimento da turbidez $x$ de um líquido ao longo do tempo $t$ (medido em minutos), isto é, mostra $\log_{10} x$ em função de $t$. Os dados foram coletados de 30 em 30 minutos, e uma curva de interpolação foi obtida para inferir valores intermediários.

Com base no gráfico, em quantas vezes a população de bactérias aumentou, do instante $t_0$ para o instante $t_1$?

  • A) 2
  • B) 4
  • C) 5
  • D) 10
  • E) 100

Resolução

1. Leitura do gráfico. As linhas finas horizontais estão de 0,1 em 0,1. No instante $t_0$ o ponto marcado está em $\log_{10} x_0 = -1{,}3$; no instante $t_1$, em $\log_{10} x_1 = -0{,}3$.

2. Diferença de logaritmos é razão. Pela propriedade do logaritmo do quociente:

$$\log_{10} \frac{x_1}{x_0} = \log_{10} x_1 - \log_{10} x_0 = -0{,}3 - (-1{,}3) = 1$$$$\frac{x_1}{x_0} = 10^1 = 10$$

3. Das turbidezes às bactérias. Como a quantidade de bactérias é diretamente proporcional à turbidez, a razão entre as populações é a mesma: a população ficou 10 vezes maior.

Resposta: alternativa D (10).

Cuidado com a pegadinha: no eixo vertical está $\log_{10} x$, não $x$. Subir 1 unidade nesse eixo significa multiplicar $x$ por 10, e não somar 1 nem “dobrar”.

Para revisar, veja Propriedades de Logaritmos.

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