Euler's Eyes
2026-10-10
A quadratura de Gauss: integrar com dois pontos
“Quadratura” é o nome antigo para calcular uma área. Os gregos aproximavam a área do círculo por polígonos cada vez com mais lados, e daí nasceu o cálculo integral. O problema prático é: como calcular a área sob uma curva fazendo poucas contas?
O jeito mais simples é a regra do trapézio: olhar a curva só nas pontas, $x = -1$ e $x = 1$, e calcular a área do trapézio. Em 1814, Gauss perguntou: e se eu puder escolher onde olhar? Com dois pontos $\pm t$ e pesos iguais a 1, a estimativa é
Ele quis que a fórmula acertasse exatamente o maior número possível de polinômios:
Achando o ponto de Gauss (clique para avançar)
- Para $f(x) = 1$: a área é 2, e a fórmula dá $1 + 1 = 2$. ✓ Funciona para qualquer $t$.
- Para $f(x) = x$ (e $x^3$): a área é 0, e a fórmula dá $-t + t = 0$. ✓ Também funciona sempre.
- Para $f(x) = x^2$: a área é $\frac{2}{3}$, e a fórmula dá $t^2 + t^2 = 2t^2$.
- Igualando: $2t^2 = \frac{2}{3}$, então $t^2 = \frac{1}{3}$ e $t = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$.
- Resultado: com só dois pontos, a regra acerta em cheio qualquer polinômio de grau até 3.
Hoje esse método se chama quadratura de Gauss-Legendre e está dentro de quase todo programa que calcula integrais. É o que permite achar áreas sob curvas, comprimentos e volumes de forma gráfica e visual, somando pedacinhos.
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