Ponto é aquilo que não tem partes. Linha é comprimento sem largura.

— Euclides, Elementos, Livro I, Definições 1 e 2

Imagine que você quer convencer alguém, sem nenhuma possibilidade de dúvida, de que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180°. Medir não basta: o transferidor erra, e você só pode medir alguns triângulos. Você precisa de um argumento. Mas todo argumento parte de alguma coisa. De onde partir? Se cada afirmação precisa ser justificada por outra, e essa por outra, a cadeia nunca termina.

A solução de Euclides foi declarar, logo na primeira página, exatamente de onde ele parte. Tudo o mais teria de ser provado.

As três peças

O Livro I dos Elementos começa com três listas.

  • Definições (23 no Livro I): dizem do que se está falando. “Ponto é aquilo que não tem partes.” “Círculo é uma figura plana limitada por uma linha tal que todas as retas que vão de um ponto interior até ela são iguais.”
  • Postulados (5): coisas que se pedem ao leitor que aceite sobre o que se pode fazer na geometria.
  • Noções comuns (5): verdades gerais, que valem para qualquer grandeza, e não só para a geometria.

Os cinco postulados são, numa tradução livre:

  1. Pode-se traçar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
  2. Pode-se prolongar continuamente uma reta limitada.
  3. Pode-se descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
  4. Todos os ângulos retos são iguais entre si.
  5. Se uma reta, ao cortar duas outras, forma do mesmo lado ângulos internos cuja soma é menor que dois retos, essas duas retas, prolongadas indefinidamente, encontram-se desse lado.

Os três primeiros descrevem o que se faz com uma régua sem marcas e um compasso: traçar retas, prolongá-las, desenhar círculos. Toda construção dos Elementos usa só esses dois instrumentos. O quarto garante que o ângulo reto é uma medida padrão. O quinto, mais comprido e menos evidente que os outros, é o famoso postulado das paralelas.

As cinco noções comuns são:

  1. Coisas iguais a uma mesma coisa são iguais entre si.
  2. Se iguais são somados a iguais, os resultados são iguais.
  3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.
  4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais entre si.
  5. O todo é maior que a parte.

A primeira é o que hoje escrevemos como: se $a=c$ e $b=c$, então $a=b$. Ela vai aparecer já na primeira proposição.

O mapa dos treze livros

Livros Assunto
I Triângulos, paralelas e o teorema de Pitágoras
II Álgebra geométrica: áreas de retângulos e quadrados
III e IV Círculos e polígonos inscritos
V A teoria das proporções de Eudoxo
VI Figuras semelhantes
VII a IX Teoria dos números: máximo divisor comum, primos, números perfeitos
X Grandezas incomensuráveis, como $\sqrt2$
XI a XIII Geometria espacial e os cinco poliedros regulares

O livro termina provando que existem exatamente cinco poliedros regulares: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Platão os associava aos elementos da natureza, e há quem pense que o livro inteiro foi escrito para chegar a eles.

O círculo e o método da exaustão

O Livro XII responde a uma pergunta muito antiga: qual é a área de um círculo? Os egípcios tinham uma receita. No papiro de Rhind, de por volta de 1550 a.C., a área de um campo redondo de diâmetro 9 é a de um quadrado de lado 8, o que equivale a usar $\pi\approx\frac{256}{81}\approx3{,}16$. Na Bíblia, o grande tanque de bronze do templo de Salomão tinha “dez côvados de uma borda à outra” e “um cordão de trinta côvados o cercava” (1 Reis 7,23): ali, $\pi=3$.

Euclides não dá número nenhum. Na Proposição XII.2, prova que as áreas de dois círculos estão entre si como os quadrados dos seus diâmetros. Em linguagem de hoje, a área é $kd^2$, com a mesma constante $k$ para todos os círculos. A prova, que vem de Eudoxo, inscreve no círculo um quadrado, depois um octógono, depois um polígono de 16 lados, e assim por diante. O quadrado já ocupa mais da metade do círculo, e cada vez que se dobra o número de lados o polígono cobre mais da metade do que faltava. A sobra fica menor que qualquer quantidade dada. É o método da exaustão: esgotar a figura com polígonos, sem nunca falar em infinito.

Pouco depois, Arquimedes usou o mesmo método, com polígonos de 96 lados dentro e fora do círculo, para mostrar que $3\frac{10}{71}<\pi<3\frac17$, isto é, $3{,}1408<\pi<3{,}1429$. A letra $\pi$ só apareceu em 1706 e se espalhou com Euler.

Uma cadeia de dependências

O que torna os Elementos especiais é a ordem. A Proposição I.1 usa só definições, postulados e noções comuns. A I.2 usa também a I.1. A I.47, o teorema de Pitágoras, usa a I.4, a I.14, a I.41 e a I.46, que por sua vez usam outras. Do último teorema do Livro XIII, pode-se seguir uma cadeia de proposições, uma apoiada na outra, até os cinco postulados.

Exercício: qual noção comum justifica a conclusão: se AB = CD e CD = EF, então AB = EF?

É a primeira: coisas iguais a uma mesma coisa são iguais entre si. Aqui $AB$ e $EF$ são ambos iguais a $CD$. Hoje chamamos essa propriedade da igualdade de transitividade.

Exercício: com régua e compasso, como encontrar o ponto médio de um segmento AB?

Trace dois círculos de raio $AB$, um com centro em $A$ e outro com centro em $B$. Eles se cortam em dois pontos, $C$ e $D$, um de cada lado de $AB$. A reta $CD$ corta $AB$ no ponto médio $M$. Por quê? Os quatro lados de $ACBD$ são iguais a $AB$, então é um losango, e as diagonais de um losango se cortam ao meio. É a Proposição I.10, feita com os postulados 1 e 3.

Fontes: Elementos de Euclides, Livro I, edição de D. E. Joyce · Thomas L. Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements (Dover, 1956) · Para os termos e as primeiras demonstrações, veja também a seção de fundamentos dos Elementos deste site.

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