Desde o século XVI, os algebristas italianos sabiam que, para resolver certas equações do terceiro grau, era preciso passar por raízes quadradas de números negativos, mesmo quando a resposta final era um número real. Usavam $\sqrt{-1}$ com desconforto. Descartes os chamou de imaginários, e o nome ficou. Leibniz os descreveu como “um anfíbio entre o ser e o não ser”.

O problema era semiótico. $\sqrt{-1}$ era uma escrita que obedecia às regras da álgebra, mas que não apontava para nada que se pudesse ver ou medir. Um número real tem lugar na reta; $\sqrt{-1}$ não tinha lugar nenhum.

Um lugar para o imaginário

A folha de rosto do Ensaio sobre uma maneira de representar as quantidades imaginárias nas construções geométricas (Paris, 1806), publicado sem o nome do autor. O exemplar traz uma dedicatória manuscrita de Jules Houël, que reeditou o texto em 1874.
A folha de rosto do Ensaio sobre uma maneira de representar as quantidades imaginárias nas construções geométricas (Paris, 1806), publicado sem o nome do autor. O exemplar traz uma dedicatória manuscrita de Jules Houël, que reeditou o texto em 1874.Jean-Robert Argand · Wikimedia Commons · domínio público

A resposta veio de dois amadores. Em 1797, o agrimensor norueguês Caspar Wessel apresentou à Academia Dinamarquesa um trabalho que ninguém leu por um século. Em 1806, o suíço Jean-Robert Argand, um guarda-livros que vivia em Paris, publicou por conta própria, e sem assinar, um pequeno ensaio com a mesma ideia: pôr os números imaginários numa reta perpendicular à dos reais.

O número $a+bi$ vira o ponto $(a,b)$: $a$ unidades na horizontal, $b$ na vertical. O número $1$ fica à direita da origem; $-1$, à esquerda; $i$, em cima; $-i$, embaixo. O que era uma escrita sem objeto ganhou um lugar. E com o lugar veio o significado.

Multiplicar por i é girar

Veja o que acontece quando se multiplica por $i$:

$$1\xrightarrow{\times i}i\xrightarrow{\times i}-1\xrightarrow{\times i}-i\xrightarrow{\times i}1.$$

No plano, os quatro pontos são a direita, o alto, a esquerda e o baixo: cada multiplicação por $i$ gira um quarto de volta, $90°$, no sentido anti-horário. E isso vale para qualquer número: $i(a+bi)=-b+ai$, que é o ponto $(a,b)$ girado de $90°$ em torno da origem.

Agora a igualdade que parecia absurda,

$$i^2=-1,$$

passa a dizer uma coisa evidente: duas voltas de um quarto dão meia volta, e meia volta leva o $1$ ao $-1$. O símbolo continua o mesmo, mas deixou de ser um mistério. É o mesmo fenômeno que o capítulo 2 estudou com Duval: a conversão para outro registro, o geométrico, revelou o que o registro algébrico escondia.

Multiplicar é girar e esticar

O desenho explica também a multiplicação geral. Todo número complexo tem um módulo, a distância à origem, e um argumento, o ângulo com o eixo real. E vale a regra:

Para multiplicar dois complexos, multiplicam-se os módulos e somam-se os ângulos.

Uma multiplicação vira um giro seguido de uma dilatação. Em 1831, Gauss deu à ideia o prestígio que lhe faltava, usou a palavra complexo e passou a desenhar os números no plano. Depois disso, a escrita $\sqrt{-1}$ perdeu o medo, e os números complexos se tornaram a linguagem da eletricidade, das ondas e da mecânica quântica.

Exercício: (1 + i)² sem conta

Use o desenho para calcular $(1+i)^2$ e depois confira pela álgebra.

$1+i$ tem módulo $\sqrt2$ e ângulo $45°$. Ao quadrado, o módulo vira $(\sqrt2)^2=2$ e o ângulo vira $90°$: é o ponto $2$ unidades acima da origem, $2i$. Pela álgebra: $(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$.

Exercício: (1 + i)⁸

Calcule $(1+i)^8$.

O ângulo vira $8\cdot45°=360°$, uma volta completa, e o módulo vira $(\sqrt2)^8=2^4=16$. Então $(1+i)^8=16$, um número real positivo. Pela álgebra, seria preciso expandir um binômio de oitavo grau; pelo desenho, basta contar voltas.

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