No posts anterior falamos de como representar, conceitos de pertinência e apresentamos alguns conjuntos importantes. Aqui, vamos falr da equivalência e igualdade entre dois conjuntos.

Igualdade de um conjunto

Inicialmente, vamos definir a igualdade de dosi conjuntos.

Definição (Igualdade de dois conjuntos): Dois conjuntos são iguais se possirem exatamente os mesmos elementos.

Exemplo 1.

Exemplo 1: Sejam os conjuntos $A$ e $B$ que têm os mesmos elementos:

$$A = \\{\text{inteiros múltiplos de } 2\\}$$

$$B = \\{2n; ~k\in \mathbb{Z}\\}$$

Notação: Escrevemos dois conjuntos $X$ e $Y$ iguais como $X=Y.$

Conjuntos diferentes

Notação: Escrevemos dois conjuntos $X$ e $Y$ diferentes como $X\neq Y.$

Exemplo 1.

Exemplo 2: Sejam os conjuntso $A$ e $B$:

  • $X=\\{1,2,3\\}$
  • $Y=\\{1,2\\}$
  • Neste caso $X\neq Y,$ pois $X$ tem um elemento ($3$), que não pertence a $Y$.

Equivalência de conjuntos

Antes de falarmos de equivalência, temos que ter em mente a definição de correspondência biunívoca.

Definição (Correspondência Biunívoca): é uma expressão dada aos conjuntos na qual possuem em comum o mesmo número de elementos.

Exemplo 1.

Com isso, podemos definir a equivalência de dois conjuntos.

Definição (Equivalência de dois conjuntos): dois conjuntos são equivalentes se seus elementos puderem ser colocados em correspondência biunívoca. Mais especificamente, se pudermos associar cada elemento de um desses conjuntos a um único elemento do outro e vice-versa. De forma que, elementos diferentes do primeiro conjunto são associados a elementos diferentes do segundo conjunto.

Exemplo 1.
Observação: note que dois conjuntos iguais são equivalentes, mas dois conjuntos equivalentes não são necessariamente iguais.

Para entender o conceito de equivalência de conjuntos, observe o exemplo:

Exemplo 3: Sejam os conjuntso $A$ e $B$:

$$C = \\{a, b, c, d, e\\} \text{ e } D = \\{1, 2, 3, 4, 5\\}$$

são equivalentes. Realmente, uma possível correspondência biunívoca entre seus elementos é:

  • $1 \leftrightarrow a$
  • $2 \leftrightarrow b$
  • $3 \leftrightarrow c$
  • $4 \leftrightarrow d$
  • $5 \leftrightarrow e$

Em notação de conjuntos $C \leftrightarrow D$.

Conjuntos finitos

A definição de equivalência entre conjuntos é fundamental para definirmos o conjunto a seguir:

Definição (Conjunto finito): um conjunto $A$ é finito se $A$ é vazio ou equivalente a um conjunto da forma:

$$\\{1, 2, 3, \dots , n\\}$$

para algum $n \in \mathbb{N}$ (pertencente ao conjuntos dos naturais).

Exemplo 1.
Observação: note se $A$ for vazio ($A= \emptyset$), diremos que tem zero $(0)$ elementos.

Cardinalidade de conjuntos

A seguir, vamos definir a cardinalidade de um conjunto.

Definição (Cardinalidade de um Conjunto): seja $A$ um conjunto finito e equivalente a $\\{1, 2, 3, \dots , n\\}$. Neste caso temos que $A$ tem $n$ elementos ou cardinalidade $n$.

Exemplo 1.

A notação para este tipo de caso é dada a seguir:

Notação: denotamos o némero de elementos de um conjunto finito $A$ escrevendo $|A|$ ou $\\#A $

Exemplo 3: Sejam os conjuntos $A$ e $B$, calcule a cardinalidade dos conuntos:

  • $A = \\{1,2,3\\}$
    • $\\#A = 3$
  • $B = \\{1,2,7,8\\}$
    • $\\#B = 4$
Exemplo 1.
Observação: Conjuntos que não são finitos são ditos infinitos. Alguns exemplos de conjuntos infinitos são $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \\{x;~ x \text{ é inteiro par}\\}.$

Estes são os conceitos para equivalência de conjuntos. Aguardem os próximos posts.