Pegue um número inteiro positivo qualquer e tente escrevê-lo como soma de quadrados perfeitos, $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$, usando o menor número possível de parcelas:

$$\begin{aligned} 5&=4+1,\\ 6&=4+1+1,\\ 7&=4+1+1+1,\\ 30&=25+4+1,\\ 2026&=2025+1=45^2+1^2. \end{aligned}$$

Alguns números são quadrados, outros precisam de dois, outros de três. O 7 precisa de quatro: não há outro jeito. Será que algum número precisa de cinco? Em 1770, Lagrange provou que não:

Todo número inteiro positivo é soma de quatro quadrados de inteiros.

Contando o zero como quadrado, isso quer dizer que sempre existem $a, b, c, d$ com $n=a^2+b^2+c^2+d^2$.

Uma suspeita de quinze séculos

O grego Diofanto de Alexandria, por volta do ano 250, usa nos seus problemas, sem comentário, que certos números se escrevem como soma de quatro quadrados. Em 1621, o francês Claude-Gaspard Bachet publicou uma edição latina da Aritmética de Diofanto e enunciou a afirmação de forma explícita. Disse que a tinha conferido até 325, mas não sabia prová-la.

Foi nas margens desse livro de Bachet que Pierre de Fermat escreveu suas famosas anotações. Fermat declarou ter uma prova pelo seu método da descida infinita, mas, como de costume, nunca a mostrou.

Os quarenta anos de Euler

Euler tentou a prova durante uns quarenta anos e não chegou ao fim. Mas encontrou, em 1748, a peça principal: uma identidade que mostra que o produto de duas somas de quatro quadrados é de novo uma soma de quatro quadrados.

$$\begin{aligned} &(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)\\ &\quad=(ae+bf+cg+dh)^2\\ &\qquad+(af-be+ch-dg)^2\\ &\qquad+(ag-bh-ce+df)^2\\ &\qquad+(ah+bg-cf-de)^2. \end{aligned}$$

Parece mágica, mas é só expandir os dois lados: todos os produtos cruzados se cancelam aos pares. Por exemplo, $7=2^2+1^2+1^2+1^2$ e $15=3^2+2^2+1^2+1^2$. A identidade dá

$$\begin{aligned}105&=7\cdot15=10^2+1^2+0^2+(-2)^2\\&=100+1+0+4.\end{aligned}$$

A consequência é poderosa. Todo número é produto de números primos. Se cada primo for soma de quatro quadrados, a identidade garante que os produtos também são. Basta, então, provar o teorema para os primos.

A prova de Lagrange

Foi aí que Lagrange entrou, em 1770, já em Berlim. A prova dele tem duas etapas, e as duas são da família da descida de Fermat.

Primeira etapa. Para todo primo $p$ ímpar, existem $x$ e $y$ tais que $x^2+y^2+1$ é múltiplo de $p$. O motivo é uma contagem: os números $x^2$, com $x$ de $0$ até $\frac{p-1}2$, deixam $\frac{p+1}2$ restos diferentes na divisão por $p$, e os números $-1-y^2$ também. Como $\frac{p+1}2+\frac{p+1}2=p+1$ é mais do que os $p$ restos possíveis, pelo princípio das gavetas alguma das duas listas tem de repetir um resto da outra. Então algum múltiplo de $p$, digamos $mp$, é soma de quatro quadrados: $x^2+y^2+1^2+0^2$.

Segunda etapa. Se $mp$ é soma de quatro quadrados com $m>1$, Lagrange mostra, usando a identidade de Euler, que um múltiplo menor, $m'p$ com $m'

Euler leu a prova e, pouco depois, publicou uma versão mais simples, reconhecendo o mérito de Lagrange. Os dois se corrigiam e se completavam por carta, como tinham feito com o cálculo das variações.

Quem precisa mesmo de quatro?

O 7 precisa de quatro quadrados, e o 15, o 23, o 28 e o 31 também. Em 1798, Legendre descobriu exatamente quais são, e Gauss completou a prova em 1801: os números da forma

$$4^a\,(8b+7),$$

e somente eles, não são soma de três quadrados. Todos os outros se arranjam com três ou menos.

Exercício: escreva 2023 como soma de quatro quadrados

Repare que $2023=7\cdot17^2$ e que $7=2^2+1^2+1^2+1^2$. Multiplicando tudo por $17^2$,

$$2023=34^2+17^2+17^2+17^2=1156+289+289+289.$$

Há outras respostas, por exemplo $43^2+13^2+2^2+1^2$. Como $2023=8\cdot252+7$, ele é da forma de Legendre: com três quadrados não dá.

Exercício: por que 7 não é soma de três quadrados?

Olhe os restos na divisão por 8. Um quadrado só pode deixar resto $0$, $1$ ou $4$: por exemplo, $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$ deixam $1, 4, 1, 0, 1, 4, 1$. Somando três desses restos, as possibilidades são $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ (como $4+1+1$) e nunca $7$. Logo nenhum número que deixa resto 7 na divisão por 8 é soma de três quadrados. Esse é o caso $a=0$ da regra de Legendre.

Fontes: biografia de Lagrange, MacTutor · André Weil, Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre (1984) · Leonard E. Dickson, History of the Theory of Numbers, vol. 2 (1920).

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