Euler's Eyes
2026-10-11
Diagonais, ângulos internos e ângulos externos
Quantas diagonais tem um polígono? Quanto somam seus ângulos? As respostas saem de uma ideia simples: dividir o polígono em triângulos.
Quem descobriu
A soma dos ângulos internos de um polígono é uma extensão da proposição I.32 dos Elementos de Euclides, que trata do triângulo. Proclo (século V d.C.) registrou as duas consequências para polígonos convexos: a soma dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados é igual a $2n - 4$ ângulos retos, e a soma dos ângulos externos é sempre igual a quatro retos. Em 1619, Johannes Kepler usou essas somas para descobrir quais polígonos regulares podem ladrilhar o plano.
A história
A prova divide o polígono em triângulos a partir de um vértice ou de um ponto interior — o mesmo método deste tópico. Já a contagem de diagonais, $\tfrac{n(n-3)}{2}$, é um problema de combinatória: cada vértice se liga a todos os outros, menos a si mesmo e aos dois vizinhos.
Em Harmonices Mundi (1619), Kepler mostrou que, entre os polígonos regulares, só o triângulo, o quadrado e o hexágono cobrem o plano sem buracos: seus ângulos internos (60°, 90° e 120°) são os únicos que dividem 360° exatamente.
No dia a dia
- Pisos e azulejos. Ladrilhos de um só tipo de polígono regular só servem se forem triângulos, quadrados ou hexágonos — consequência direta das somas de ângulos.
- Andar em volta de um quarteirão. Quem contorna uma praça poligonal e volta ao ponto de partida virou, no total, 360°: é a soma dos ângulos externos.
- Robôs e tartarugas. Em linguagens de programação para crianças, como Logo e Scratch, desenhar um polígono regular de $n$ lados exige girar $360°/n$ em cada canto.
- Apertos de mão. Em um grupo de $n$ pessoas, o número de apertos de mão é o de lados mais o de diagonais de um polígono de $n$ vértices.
Fontes: Elementos, proposição I.32 · Proclo (MacTutor) · Kepler (MacTutor).
Teoria e construções
TeoremaNúmero de diagonais
Diagonal é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos. O número de diagonais de um polígono de $n$ lados ($n \geq 3$) é
$$d = \frac{n(n-3)}{2}.$$Dedução. De cada vértice partem $n - 3$ diagonais (não vão a ele mesmo nem aos dois vizinhos). Com $n$ vértices, contamos $n(n-3)$ — mas cada diagonal foi contada duas vezes, uma em cada extremidade. Logo $d = \dfrac{n(n-3)}{2}$.
TeoremaSoma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de $n$ lados é
$$S_i = (n - 2) \cdot 180^{\circ}.$$Dedução. As $n - 3$ diagonais que partem de um vértice dividem o polígono em $n - 2$ triângulos, e a soma dos ângulos internos do polígono é a soma dos ângulos desses triângulos.
TeoremaSoma dos ângulos externos
Ângulo externo de um polígono convexo é o suplementar adjacente de um ângulo interno. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é
$$S_e = 360^{\circ}.$$Dedução. Em cada vértice, $e_k + i_k = 180^{\circ}$. Somando as $n$ igualdades: $S_e + S_i = n \cdot 180^{\circ}$. Como $S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}$, vem $S_e = 360^{\circ}$.
PropriedadeÂngulos de um polígono regular
Num polígono regular, os ângulos internos são congruentes e os externos também:
$$a_e = \frac{360^{\circ}}{n}, \qquad a_i = \frac{(n-2)\cdot 180^{\circ}}{n}, \qquad a_i + a_e = 180^{\circ}.$$Na prática, é mais fácil calcular primeiro $a_e$ e depois o suplemento $a_i$.