Uma régua sem marcas e um compasso: com só essas duas ferramentas, os gregos construíam pontos médios, perpendiculares e paralelas com precisão total.

Quem descobriu

As construções clássicas estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a mediatriz e o ponto médio (proposição I.10), a bissetriz (I.9), a perpendicular por um ponto (I.11 e I.12) e a paralela por um ponto (I.31). A regra de usar só régua sem marcas e compasso vem dos três primeiros postulados de Euclides: traçar uma reta por dois pontos, prolongá-la e traçar uma circunferência com qualquer centro e raio.

A história

Para os gregos, uma construção era uma demonstração em forma de desenho: cada passo precisava ser justificado por resultados já provados. Por isso uma régua graduada não valia — medir é aproximar, construir é garantir.

Três problemas famosos resistiram a essas ferramentas por mais de dois mil anos: dividir um ângulo qualquer em três partes iguais, construir um cubo com o dobro do volume de outro e construir um quadrado com a mesma área de um círculo. No século XIX, Pierre Wantzel (1837) e Ferdinand von Lindemann (1882) provaram que os três são impossíveis só com régua e compasso.

No dia a dia

  • Carpintaria e serralheria. O compasso de pontas secas marca centros, divide peças ao meio e traça perpendiculares sem precisar de esquadro.
  • Desenho técnico. As ferramentas de “mediatriz”, “bissetriz” e “perpendicular” dos programas de CAD e do GeoGebra repetem as construções de Euclides.
  • Jardinagem. Com duas estacas e um barbante, dá para marcar um canteiro circular ou uma linha perpendicular a um muro.

As quatro construções

Em cada figura, arraste os pontos e avance um passo de cada vez. Repita a construção no papel, com régua e compasso de verdade.

Mediatriz e ponto médio

DefiniçãoMediatriz

A mediatriz de um segmento $\overline{AB}$ é a reta perpendicular a $\overline{AB}$ que passa pelo seu ponto médio. Todo ponto da mediatriz está à mesma distância de $A$ e de $B$.

Construção da mediatriz: os pontos P e Q estão à mesma distância de A e de B.

Por que funciona? Os arcos têm o mesmo raio, então $PA = PB$ e $QA = QB$. Os pontos à mesma distância de $A$ e de $B$ formam a mediatriz; como $P$ e $Q$ estão nela, a reta $PQ$ é a mediatriz.

Bissetriz de um ângulo

Construção da bissetriz: os triângulos OPR e OQR são congruentes (caso LLL).

Por que funciona? $OP = OQ$ (primeiro arco) e $PR = QR$ (segundo par de arcos); o lado $OR$ é comum. Pelo caso LLL, os triângulos $OPR$ e $OQR$ são congruentes, e os ângulos em $O$ são iguais.

Perpendicular por um ponto fora da reta

Perpendicular por P: os pontos P e E estão, ambos, à mesma distância de C e de D.

Por que funciona? $PC = PD$ e $EC = ED$: $P$ e $E$ estão na mediatriz de $\overline{CD}$, que é perpendicular à reta $r$.

Paralela por um ponto

Paralela por P: os quatro lados de CDEP são iguais, então CDEP é um losango.

Por que funciona? Os quatro lados de $CDEP$ têm a mesma medida: é um losango, e todo losango é um paralelogramo. Logo $PE$ é paralela a $CD$, isto é, à reta $r$.

Conferir a resposta

45°: construa uma perpendicular (90°) e depois a bissetriz desse ângulo reto. 60°: com a ponta seca em A e abertura AB, trace um arco; repita com a ponta seca em B. O ponto de encontro C forma o triângulo equilátero ABC, cujos ângulos medem 60° — exatamente a primeira proposição dos Elementos.

Verdadeiro ou falso?

  1. Todo ponto da mediatriz de AB está à mesma distância de A e de B.
  2. Com régua e compasso, é possível dividir qualquer ângulo em três partes iguais.
  3. A bissetriz de um ângulo reto forma dois ângulos de 45°.
  4. Nas construções gregas, a régua podia ter marcas de centímetros.

Fontes: Elementos, livro I (D. Joyce) · Wantzel (MacTutor) · Lindemann (MacTutor).