Fonte: INEP – prova e gabarito do 2º dia, Caderno 5 – Amarelo.

A prova de Matemática e suas Tecnologias do ENEM 2024 foi aplicada no 2º dia e vai da questão 136 à 180. Este post traz as questões 136 a 150. A numeração usada aqui é a do Caderno 5 – Amarelo; nos outros cadernos as mesmas questões aparecem em outra ordem.

Gabarito

Questão Assunto Gabarito
136 Função afim: custo de produção C
137 Estatística: mediana E
138 Divisão proporcional C
139 Análise combinatória: combinações E
140 Probabilidade de eventos independentes B
141 Razão: densidade demográfica E
142 Frações e números mistos D
143 Parcelas crescentes (raciocínio lógico) A
144 Comprimento de arco: polias e correia D
145 Triângulo equilátero: circuncentro C
146 Leitura de gráficos: amplitude de senoide A
147 Áreas de polígonos regulares A
148 Velocidade e encontro de móveis D
149 Probabilidade sem reposição E
150 Logaritmo: escala Richter C

Questão 136: Custo de produção de mochilas (função afim)

Enunciado

Uma empresa produz mochilas escolares sob encomenda. Essa empresa tem um custo total de produção, composto por um custo fixo, que não depende do número de mochilas, mais um custo variável, que é proporcional ao número de mochilas produzidas. O custo total cresce de forma linear, e a tabela apresenta esse custo para três quantidades de mochilas produzidas.

Quantidade de mochilas 30 50 100
Custo total (R$) 1 050,00 1 650,00 3 150,00

O custo total, em real, para a produção de 80 mochilas será

  • A) 2 400,00.
  • B) 2 520,00.
  • C) 2 550,00.
  • D) 2 700,00.
  • E) 2 800,00.

Resolução

O custo total é custo fixo + custo variável, e o custo variável é proporcional ao número $x$ de mochilas. Então o custo é uma função afim:

$$C(x) = b + a x$$

onde $b$ é o custo fixo e $a$ é o custo de cada mochila.

1. Custo por mochila ($a$). De 30 para 50 mochilas, o custo sobe $1650 - 1050 = 600$ reais para 20 mochilas a mais:

$$a = \frac{1650 - 1050}{50 - 30} = \frac{600}{20} = 30$$

Conferindo com o terceiro ponto: de 50 para 100 mochilas, $\frac{3150 - 1650}{100 - 50} = \frac{1500}{50} = 30$. A taxa é a mesma, como esperado numa função afim.

2. Custo fixo ($b$). Usando $x = 30$:

$$1050 = b + 30 \cdot 30 \quad\Rightarrow\quad b = 1050 - 900 = 150$$

Logo, $C(x) = 150 + 30x$.

3. Custo de 80 mochilas.

$$C(80) = 150 + 30 \cdot 80 = 150 + 2400 = 2550$$

Resposta: alternativa C (R$ 2 550,00).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa A (2 400,00) é só o custo variável, $30 \cdot 80$. Ela esquece o custo fixo de R$ 150,00.

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Questão 137: Mediana da umidade relativa do ar

Enunciado

A umidade relativa do ar é um dos indicadores utilizados na meteorologia para fazer previsões sobre o clima. O quadro apresenta as médias mensais, em porcentagem, da umidade relativa do ar em um período de seis meses consecutivos em uma cidade.

Meses Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out.
Média mensal da umidade relativa do ar (%) 66 64 54 46 60 64

Nessa cidade, a mediana desses dados, em porcentagem, da umidade relativa do ar no período considerado foi

  • A) 56.
  • B) 58.
  • C) 59.
  • D) 60.
  • E) 62.

Resolução

A mediana é o valor central dos dados depois de colocados em ordem. O quadro está na ordem dos meses, não na ordem dos valores, então o primeiro passo é ordenar.

1. Ordenar os dados:

$$46, \quad 54, \quad 60, \quad 64, \quad 64, \quad 66$$

2. Achar o centro. São 6 valores, uma quantidade par. Não existe um único termo central: os dois do meio são o 3º e o 4º, ou seja, 60 e 64. A mediana é a média deles:

$$\text{Mediana} = \frac{60 + 64}{2} = \frac{124}{2} = 62$$

Resposta: alternativa E (62%).

Cuidado com a pegadinha: quem pega os dois valores do meio sem ordenar (julho e agosto, 54 e 46) encontra 50, que não está entre as alternativas. E a alternativa D (60) é só o 3º termo, esquecendo de fazer a média com o 4º.

Para revisar o conceito, veja Medidas de Posição.

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Questão 138: Pagamento proporcional às horas trabalhadas

Enunciado

Uma empresa de engenharia foi contratada para realizar um serviço no valor de R$ 71 250,00. Os sócios da empresa decidiram que 40% desse valor seria destinado ao pagamento de três engenheiros que gerenciaram o serviço. O pagamento para cada um deles será feito de forma diretamente proporcional ao total de horas trabalhadas. O número de dias e o número de horas diárias trabalhadas pelos engenheiros foram, respectivamente:

  • engenheiro I: 4 dias, numa jornada de 5 horas e meia por dia;
  • engenheiro II: 5 dias, numa jornada de 4 horas por dia;
  • engenheiro III: 6 dias, numa jornada de 2 horas e meia por dia.

Qual a maior diferença, em real, entre os valores recebidos por esse serviço entre dois desses engenheiros?

  • A) 1 000
  • B) 1 500
  • C) 3 500
  • D) 3 800
  • E) 5 250

Resolução

1. Valor a ser dividido. Só 40% do serviço vai para os engenheiros:

$$0{,}40 \cdot 71\thinspace 250 = 28\thinspace 500 \text{ reais}$$

2. Total de horas de cada engenheiro (dias × horas por dia):

Engenheiro Cálculo Horas
I $4 \cdot 5{,}5$ 22
II $5 \cdot 4$ 20
III $6 \cdot 2{,}5$ 15
Total 57

3. Valor por hora. Como o pagamento é diretamente proporcional às horas, cada hora vale o mesmo:

$$\frac{28\thinspace 500}{57} = 500 \text{ reais por hora}$$

4. Quanto cada um recebe:

  • engenheiro I: $22 \cdot 500 = 11\thinspace 000$ reais;
  • engenheiro II: $20 \cdot 500 = 10\thinspace 000$ reais;
  • engenheiro III: $15 \cdot 500 = 7\thinspace 500$ reais.

5. Maior diferença. É entre quem recebeu mais (I) e quem recebeu menos (III):

$$11\thinspace 000 - 7\thinspace 500 = 3\thinspace 500$$

Resposta: alternativa C (R$ 3 500).

Atalho: a maior diferença de horas é $22 - 15 = 7$ horas, e $7 \cdot 500 = 3\thinspace 500$. Não é preciso calcular o valor de cada um.

Para revisar, veja Proporções e Básico de Porcentagem.

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Questão 139: Equipes de médicos (combinações)

Enunciado

Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.

A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é

A)

$$\frac{7!}{4!} \times \frac{6!}{4!}$$

B)

$$\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}$$

C)

$$\frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!} + \frac{5!}{1! \times 4!}$$

D)

$$\left(\frac{7!}{3! \times 4!} + \frac{6!}{2! \times 4!}\right) \times \left(\frac{7!}{4! \times 3!} + \frac{6!}{1! \times 5!}\right) \times \left(\frac{7!}{5! \times 2!} + \frac{6!}{0! \times 6!}\right)$$

E)

$$\left(\frac{7!}{3! \times 4!} \times \frac{6!}{2! \times 4!}\right) + \left(\frac{7!}{4! \times 3!} \times \frac{6!}{1! \times 5!}\right) + \left(\frac{7!}{5! \times 2!} \times \frac{6!}{0! \times 6!}\right)$$

Resolução

A ordem dos médicos na equipe não importa, então usamos combinações:

$$C_{n,p} = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p! \thinspace (n-p)!}$$

1. Separar os casos. “Pelo menos 3 cardiologistas” numa equipe de 5 deixa três possibilidades:

Caso Cardiologistas (de 7) Neurologistas (de 6)
1 3 2
2 4 1
3 5 0

2. Contar cada caso. Dentro de um caso, escolhemos os cardiologistas e os neurologistas. Escolhas feitas juntas se multiplicam:

  • caso 1: $\binom{7}{3} \times \binom{6}{2} = \dfrac{7!}{3! \times 4!} \times \dfrac{6!}{2! \times 4!}$
  • caso 2: $\binom{7}{4} \times \binom{6}{1} = \dfrac{7!}{4! \times 3!} \times \dfrac{6!}{1! \times 5!}$
  • caso 3: $\binom{7}{5} \times \binom{6}{0} = \dfrac{7!}{5! \times 2!} \times \dfrac{6!}{0! \times 6!}$

3. Juntar os casos. Uma equipe é do caso 1 ou do caso 2 ou do caso 3. Casos que se excluem se somam. A expressão é exatamente a da alternativa E.

Fazendo as contas, para conferir:

$$35 \times 15 + 35 \times 6 + 21 \times 1 = 525 + 210 + 21 = 756 \text{ equipes}$$

Resposta: alternativa E.

Por que as outras estão erradas:

  • B conta só o caso 1 (exatamente 3 cardiologistas).
  • D inverte as operações: soma dentro de cada caso e multiplica os casos.
  • C soma números que não fazem sentido juntos, como o $\frac{5!}{1! \times 4!}$.

A regra para lembrar: “e” multiplica, “ou” soma.

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Questão 140: Probabilidade de pegar dois semáforos vermelhos

Enunciado

Para melhorar o fluxo de ônibus em uma avenida que tem dois semáforos, a prefeitura reduzirá o tempo em que cada sinal ficará vermelho, que atualmente é de 15 segundos a cada 60 segundos. Admita que o instante de chegada de um ônibus a cada semáforo é aleatório.

O engenheiro de tráfego da prefeitura calculou a probabilidade de um ônibus encontrar cada um deles vermelho, obtendo $\frac{15}{60}$. A partir daí, estabeleceu uma mesma redução na quantidade do tempo, em segundo, em que cada sinal ficará vermelho, de maneira que a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os sinais vermelhos numa mesma viagem seja igual a $\frac{4}{100}$, considerando os eventos independentes.

Para isso, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho, em segundo, estabelecida pelo engenheiro foi de

  • A) 1,35.
  • B) 3,00.
  • C) 9,00.
  • D) 12,60.
  • E) 13,80.

Resolução

1. Probabilidade em um semáforo. Se o sinal fica vermelho durante $t$ segundos a cada 60, a chance de o ônibus chegar no vermelho é

$$P(\text{vermelho}) = \frac{t}{60}$$

(com $t = 15$ hoje, a probabilidade é $\frac{15}{60}$, como diz o enunciado).

2. Os dois semáforos. Os eventos são independentes, então a probabilidade de pegar os dois vermelhos é o produto das probabilidades. Como a redução é a mesma nos dois sinais, os dois ficam com o mesmo $t$:

$$\frac{t}{60} \cdot \frac{t}{60} = \left(\frac{t}{60}\right)^2 = \frac{4}{100}$$

3. Achar o novo tempo. Tirando a raiz quadrada (só vale a raiz positiva, porque tempo não é negativo):

$$\frac{t}{60} = \frac{2}{10} \quad\Rightarrow\quad t = 12 \text{ segundos}$$

4. A redução. O vermelho passa de 15 para 12 segundos:

$$15 - 12 = 3 \text{ segundos}$$

Resposta: alternativa B (3,00 segundos).

Cuidado com a pegadinha: a pergunta é a redução, não o novo tempo. Quem responde o novo tempo (12) procura um valor que não está nas alternativas. A mais próxima é a D (12,60), que não é a resposta.

Para revisar o conceito, veja Introdução à Probabilidade.

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Questão 141: Densidade demográfica (razão entre grandezas)

Enunciado

A densidade demográfica de uma região é definida como sendo a razão entre o número de habitantes dessa região e sua área, expressa na unidade habitantes por quilômetro quadrado.

Uma região $R$ é subdividida em várias outras, sendo uma delas a região $Q$. A área de $Q$ é igual a três quartos da área de $R$, e o número de habitantes de $Q$ é igual à metade do número de habitantes de $R$. As densidades demográficas correspondentes a essas regiões são denotadas por $d(Q)$ e $d(R)$.

A expressão que relaciona $d(Q)$ e $d(R)$ é

  • A) $d(Q) = \dfrac{1}{4} d(R)$
  • B) $d(Q) = \dfrac{1}{2} d(R)$
  • C) $d(Q) = \dfrac{3}{4} d(R)$
  • D) $d(Q) = \dfrac{3}{2} d(R)$
  • E) $d(Q) = \dfrac{2}{3} d(R)$

Resolução

1. Dar nomes. Seja $N$ o número de habitantes de $R$ e $A$ a área de $R$. Então

$$d(R) = \frac{N}{A}$$

2. Escrever os dados de $Q$. $Q$ tem metade dos habitantes e três quartos da área:

$$d(Q) = \frac{\frac{1}{2} N}{\frac{3}{4} A}$$

3. Simplificar. Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso:

$$d(Q) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{N}{A} = \frac{2}{3} \cdot \frac{N}{A} = \frac{2}{3} d(R)$$

Resposta: alternativa E ($d(Q) = \frac{2}{3} d(R)$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D ($\frac{3}{2}$) aparece quando se inverte a razão, fazendo área dividida por habitantes. Densidade é habitantes sobre área.

Para revisar, veja Taxas.

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Questão 142: Diferença entre tamanhos de telas (frações mistas)

Enunciado

Atualmente, há telefones celulares com telas de diversos tamanhos e em formatos retangulares. Alguns deles apresentam telas medindo $3\frac{1}{2}$ polegadas, com determinadas especificações técnicas. Além disso, em muitos modelos, com a inclusão de novas funções no celular, suas telas ficaram maiores, sendo muito comum encontrarmos atualmente telas medindo $4\frac{5}{6}$ polegadas, conforme a figura.

Disponível em: www.tecmundo.com.br. Acesso em: 5 nov. 2014 (adaptado).

A diferença de tamanho, em valor absoluto, entre as medidas, em polegada, das telas do celular 2 e do celular 1, representada apenas com uma casa decimal, é

  • A) 0,1.
  • B) 0,5.
  • C) 1,0.
  • D) 1,3.
  • E) 1,8.

Resolução

1. Transformar os números mistos em frações. $3\frac{1}{2}$ significa $3 + \frac{1}{2}$, e $4\frac{5}{6}$ significa $4 + \frac{5}{6}$:

$$3\frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = \frac{21}{6} \qquad 4\frac{5}{6} = \frac{24}{6} + \frac{5}{6} = \frac{29}{6}$$

2. Subtrair (já com o mesmo denominador 6):

$$\frac{29}{6} - \frac{21}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

3. Passar para decimal:

$$\frac{4}{3} = 1{,}333\ldots \approx 1{,}3$$

Resposta: alternativa D (1,3 polegada).

Cuidado com a pegadinha: $4\frac{5}{6}$ não é $4 \times \frac{5}{6}$. O número misto é uma soma: parte inteira mais fração.

Para revisar, veja Operações com Números Racionais.

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Questão 143: Parcelas crescentes e o mês de aniversário

Enunciado

Uma imobiliária iniciou uma campanha de divulgação para promover a venda de apartamentos que podem ser pagos em 100 parcelas mensais. O valor da primeira delas é fixado no momento da compra, com o pagamento dessa primeira parcela. A partir da segunda parcela, o valor é determinado pela aplicação de um acréscimo percentual fixo ao valor da parcela anterior. Como atrativo, a imobiliária fará o pagamento de todas as parcelas correspondentes ao mês de aniversário do comprador.

Um cliente, que faz aniversário no mês de maio, decidiu comprar um desses apartamentos por meio do financiamento oferecido pela imobiliária, e pretende escolher o mês mais adequado para realizar essa compra, de modo que o valor total dos pagamentos seja o menor possível.

Qual é o mês que esse cliente deverá escolher para realizar a compra do apartamento?

  • A) Fevereiro.
  • B) Abril.
  • C) Maio.
  • D) Junho.
  • E) Agosto.

Resolução

1. As parcelas só crescem. Cada parcela é a anterior com um acréscimo percentual fixo, então a parcela 2 é maior que a 1, a 3 maior que a 2, e assim por diante. A parcela 100 é a mais cara de todas.

2. Quantas parcelas caem em cada mês. A 1ª parcela é paga no mês da compra. Como $100 = 8 \cdot 12 + 4$, as parcelas cobrem 8 anos completos e mais 4 meses. Então:

  • os 4 primeiros meses a partir da compra recebem 9 parcelas cada (por exemplo, o 4º mês recebe as parcelas 4, 16, 28, …, 88, 100);
  • os outros 8 meses recebem 8 parcelas cada.

3. O que o cliente quer. Ele paga tudo, menos as parcelas de maio. Para pagar o mínimo, as parcelas de maio (pagas pela imobiliária) devem somar o máximo possível.

4. Qual posição é a melhor para maio. Se maio for o 4º mês a partir da compra, ele recebe as parcelas

$$4, \ 16, \ 28, \ \ldots, \ 88, \ 100$$

São 9 parcelas, incluindo a 100ª, que é a mais cara de todas. Compare com qualquer outra posição:

  • se maio for o 1º, 2º ou 3º mês, também recebe 9 parcelas, mas cada uma é anterior (portanto mais barata) à parcela correspondente do 4º mês;
  • se maio for do 5º ao 12º mês, recebe só 8 parcelas, e a maior delas é no máximo a 96ª. Emparelhando, cada uma é mais barata que uma parcela diferente da lista acima (a 96ª perde para a 100ª, a 84ª para a 88ª, etc.), e ainda sobra a parcela 4.

5. Achar o mês da compra. Maio deve ser o 4º mês contando a partir do mês da compra (que é o 1º): compra em fevereiro → fevereiro (1º), março (2º), abril (3º), maio (4º).

Resposta: alternativa A (fevereiro).

Cuidado com a pegadinha: comprar em maio (alternativa C) dá a maio 9 parcelas, mas as mais baratas do seu grupo (1, 13, …, 97). Não inclui a 100ª, que é a mais cara.

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Questão 144: Comprimento da correia entre duas polias

Enunciado

Um sistema de polias circulares e correias é um dos mecanismos responsáveis pela transmissão de movimento em máquinas rotativas. O manual de um motor traz uma figura representando um sistema composto por duas polias e uma correia de transmissão, tensionada e perfeitamente ajustada sobre as polias, de modo a não apresentar folgas nos contatos com as polias. Considere que as partes dessa correia que não ficam em contato com as polias são representadas por segmentos de reta tangentes às polias.

Para substituição dessa correia, é necessária a especificação de seu comprimento.

Considere 3 como valor aproximado para $\pi$.

A medida do comprimento dessa correia, em centímetro, é

  • A) 54.
  • B) 60.
  • C) 66.
  • D) 68.
  • E) 72.

Resolução

A correia tem quatro partes: dois segmentos retos de 15 cm, um arco em volta da polia pequena e um arco em volta da polia grande.

1. Ângulos dos arcos. Na polia pequena, o arco em contato com a correia corresponde ao ângulo central de $150°$ marcado na figura.

Em cada ponto de tangência, o raio é perpendicular à correia. Então o raio da polia pequena e o raio da polia grande que chegam a um mesmo segmento reto são paralelos. Por isso, os dois arcos em contato se completam: o arco da polia grande tem

$$360° - 150° = 210°$$

2. Arco na polia pequena ($r = 4$ cm, $\pi = 3$): o comprimento é a fração $\frac{150}{360}$ da circunferência inteira:

$$\frac{150}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = \frac{5}{12} \cdot 24 = 10 \text{ cm}$$

3. Arco na polia grande ($R = 8$ cm):

$$\frac{210}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 8 = \frac{7}{12} \cdot 48 = 28 \text{ cm}$$

4. Somar tudo:

$$15 + 15 + 10 + 28 = 68 \text{ cm}$$

Resposta: alternativa D (68 cm).

Cuidado com a pegadinha: quem usa $150°$ também na polia grande encontra $30 + 10 + 20 = 60$ (alternativa B). E quem usa meia volta ($180°$) em cada polia encontra $30 + 12 + 24 = 66$ (alternativa C). A polia grande abraça mais da metade da correia.

Para revisar, veja Ângulos e Circunferências.

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Questão 145: Ponto equidistante de três postos (triângulo equilátero)

Enunciado

A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto $H$ representa o local onde está construído o hospital; os pontos $P_1$, $P_2$ e $P_3$, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

  • A) 2 e 3.
  • B) 4 e 5.
  • C) 5 e 6.
  • D) 7 e 8.
  • E) 8 e 9.

Resolução

1. A figura. Os postos formam um triângulo equilátero de lado 10 km, e $H$ está à mesma distância dos três vértices. Esse ponto é o centro do triângulo (circuncentro). No triângulo equilátero ele coincide com o baricentro, que fica a $\frac{2}{3}$ de cada altura, contando a partir do vértice.

2. Altura do triângulo equilátero de lado $\ell = 10$:

$$h = \frac{\ell\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

3. Distância de $H$ a cada posto:

$$d = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx \frac{10 \cdot 1{,}732}{3} \approx 5{,}77 \text{ km}$$

Resposta: alternativa C (entre 5 e 6 km).

Cuidado com a pegadinha: a distância de $H$ até um lado do triângulo é só $\frac{1}{3}$ da altura, cerca de 2,89 km (alternativa A). E a altura inteira, cerca de 8,66 km, leva à alternativa E.

Para revisar, veja Pontos notáveis do triângulo.

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Questão 146: Gráfico de oscilações de um amortecedor

Enunciado

Projetistas de uma fábrica de amortecedores realizaram uma série de experimentos que produziram oscilações semelhantes ao comportamento do gráfico de uma senoide, para qualquer tipo de estrada. Cada experimento teve duração de 20 minutos, sendo os 9 primeiros minutos em superfície que simula uma rodovia asfaltada, e os 11 minutos restantes em superfície que simula uma estrada de chão.

Para os amortecedores serem aprovados no experimento, exige-se que as amplitudes das ondas oscilatórias, em cada tipo de superfície, sejam constantes e, ainda, que a amplitude da oscilação do amortecedor no asfalto seja menor do que sua amplitude da oscilação na estrada de chão.

O tipo de gráfico que descreve o comportamento oscilatório de um amortecedor aprovado nesse experimento é

Resolução

A amplitude é a altura dos picos da onda (a distância do eixo até o ponto mais alto). São três exigências:

  1. de 0 a 9 minutos (asfalto), a amplitude é constante;
  2. de 9 a 20 minutos (chão), a amplitude é constante;
  3. a amplitude no asfalto é menor que no chão.

Analisando cada gráfico:

  • A: picos todos iguais até 9 minutos; depois, picos todos iguais e mais altos. Cumpre as três exigências.
  • B: na estrada de chão, os picos vão diminuindo. A amplitude não é constante.
  • C: os picos diminuem ao longo do tempo. Não é constante e não aumenta no chão.
  • D e E: a amplitude é a mesma nas duas superfícies; só muda a frequência (a onda fica mais “apertada” ou mais “larga”). Não cumpre a exigência 3.

Resposta: alternativa A.

Cuidado com a pegadinha: não confunda amplitude (altura da onda) com frequência (quantas oscilações cabem num intervalo). Em D e E muda a frequência, não a amplitude.

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Questão 147: Maior área com o mesmo perímetro (polígonos regulares)

Enunciado

Um jardineiro dispõe de $k$ metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.

O jardineiro escolherá a forma de

  • A) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{24}$.
  • B) hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{3k^2\sqrt{3}}{2}$.
  • C) quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2}{16}$.
  • D) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{36}$.
  • E) triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{4}$.

Resolução

O perímetro é sempre $k$ (toda a cerca). Calculamos a área de cada forma.

1. Triângulo equilátero: lado $\frac{k}{3}$.

$$A_\triangle = \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\left(\frac{k}{3}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{k^2\sqrt{3}}{36}$$

2. Quadrado: lado $\frac{k}{4}$.

$$A_\square = \left(\frac{k}{4}\right)^2 = \frac{k^2}{16}$$

3. Hexágono regular: lado $\frac{k}{6}$. O hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros com esse lado:

$$A_{hex} = 6 \cdot \frac{\left(\frac{k}{6}\right)^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{k^2\sqrt{3}}{144} = \frac{k^2\sqrt{3}}{24}$$

4. Comparar (usando $\sqrt{3} \approx 1{,}732$):

Forma Área Aproximação
Triângulo $\frac{k^2\sqrt{3}}{36}$ $0{,}048 k^2$
Quadrado $\frac{k^2}{16}$ $0{,}0625 k^2$
Hexágono $\frac{k^2\sqrt{3}}{24}$ $0{,}072 k^2$

O hexágono tem a maior área.

Resposta: alternativa A (hexágono regular, com área $\frac{k^2\sqrt{3}}{24}$).

Cuidado com a pegadinha: a alternativa B usa a fórmula do hexágono $\frac{3\ell^2\sqrt{3}}{2}$ com $\ell = k$, esquecendo que o lado é $\frac{k}{6}$. Com o mesmo perímetro, quanto mais lados o polígono regular tem, maior a área.

Para revisar, veja Polígonos Regulares.

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Questão 148: Encontro de dois ônibus (velocidades)

Enunciado

Um aeroporto disponibiliza o serviço de transporte gratuito entre seus dois terminais utilizando os ônibus A e B, que partem simultaneamente, de hora em hora, de terminais diferentes. A distância entre os terminais é de 9 000 metros, e o percurso total dos ônibus, de um terminal ao outro, é monitorado por um sistema de cinco câmeras que cobrem diferentes partes do trecho, conforme o esquema.

O alcance de cada uma das cinco câmeras é:

  • câmera I: $\frac{1}{5}$ do percurso;
  • câmera II: $\frac{3}{10}$ do percurso;
  • câmera III: $\frac{1}{10}$ do percurso;
  • câmera IV: $\frac{1}{10}$ do percurso;
  • câmera V: $\frac{3}{10}$ do percurso.

Em determinado horário, o ônibus A parte do terminal 1 e realiza o percurso total com velocidade constante de 250 m/min; enquanto o ônibus B, que parte do terminal 2, realiza o percurso total com velocidade constante de 150 m/min.

Qual câmera registra o momento em que os ônibus A e B se encontram?

  • A) I
  • B) II
  • C) III
  • D) IV
  • E) V

Resolução

1. Tempo até o encontro. Os ônibus andam um em direção ao outro, então a distância entre eles diminui $250 + 150 = 400$ metros por minuto:

$$t = \frac{9\thinspace 000}{400} = 22{,}5 \text{ minutos}$$

2. Onde é o encontro. Nesse tempo, o ônibus A andou, a partir do terminal 1,

$$250 \cdot 22{,}5 = 5\thinspace 625 \text{ metros}$$

(Conferindo: B andou $150 \cdot 22{,}5 = 3\thinspace 375$ m, e $5\thinspace 625 + 3\thinspace 375 = 9\thinspace 000$.)

3. Trecho de cada câmera. As frações somam $\frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = 1$, e as câmeras cobrem o percurso em sequência, a partir do terminal 1:

Câmera Fração Trecho (m, a partir do terminal 1)
I $\frac{1}{5}$ 0 a 1 800
II $\frac{3}{10}$ 1 800 a 4 500
III $\frac{1}{10}$ 4 500 a 5 400
IV $\frac{1}{10}$ 5 400 a 6 300
V $\frac{3}{10}$ 6 300 a 9 000

O ponto 5 625 m está entre 5 400 e 6 300: trecho da câmera IV.

Resposta: alternativa D (câmera IV).

Cuidado com a pegadinha: quem imagina que os ônibus se encontram no meio do caminho (4 500 m) fica na divisa entre as câmeras II e III. Como A é mais rápido, o encontro fica mais perto do terminal 2.

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Questão 149: Probabilidade de descobrir uma Cifra de César

Enunciado

A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.

Disponível em: www.codifica.ibict.br. Acesso em: 15 out. 2019.

Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.

Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.

A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por

  • A) $\dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{25} + \dfrac{1}{25}$
  • B) $\dfrac{24}{25} + \dfrac{23}{24} + \dfrac{1}{23}$
  • C) $\dfrac{1}{25} \times \dfrac{1}{24} \times \dfrac{1}{23}$
  • D) $\dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{25} \times \dfrac{1}{25}$
  • E) $\dfrac{24}{25} \times \dfrac{23}{24} \times \dfrac{1}{23}$

Resolução

1. Quantos padrões são possíveis. O padrão fica definido pela letra que substitui o “A”. Ela pode ser qualquer uma das outras 25 letras (se o “A” continuasse “A”, a mensagem não estaria codificada). São 25 possibilidades.

2. “Apenas na terceira tentativa” significa: errar a 1ª, errar a 2ª e acertar a 3ª. Como cada tentativa errada é eliminada, o número de opções diminui a cada vez:

  • 1ª tentativa errada: 24 erradas entre 25 opções → $\frac{24}{25}$;
  • 2ª tentativa errada: sobram 24 opções, 23 erradas → $\frac{23}{24}$;
  • 3ª tentativa certa: sobram 23 opções, 1 certa → $\frac{1}{23}$.

3. Multiplicar. Os três fatos precisam acontecer juntos (“e”), então multiplicamos:

$$P = \frac{24}{25} \times \frac{23}{24} \times \frac{1}{23}$$

(Simplificando, $P = \frac{1}{25}$: sem repetir tentativas, acertar na 1ª, na 2ª ou na 3ª tentativa tem a mesma chance.)

Resposta: alternativa E.

Cuidado com a pegadinha: a alternativa D esquece de eliminar as tentativas frustradas (mantém 25 no denominador). A B soma em vez de multiplicar.

Para revisar, veja Introdução à Probabilidade.

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Questão 150: Magnitude de terremotos (logaritmo)

Enunciado

Em uma região com grande incidência de terremotos, observou-se que dois terremotos ocorridos apresentaram magnitudes $M_1$ e $M_2$, medidos segundo a escala Richter, e liberaram energias iguais a $E_1$ e $E_2$, respectivamente. Entre os estudiosos do assunto, é conhecida uma expressão algébrica relacionando esses valores dada por

$$M_2 - M_1 = \frac{2}{3} \log\left(\frac{E_2}{E_1}\right)$$

Estudos mais abrangentes observaram que o primeiro terremoto apresentou a magnitude $M_1 = 6{,}9$ e a energia liberada foi um décimo da observada no segundo terremoto.

O valor aproximado da magnitude $M_2$ do segundo terremoto, expresso com uma casa decimal, é igual a

  • A) 5,4.
  • B) 6,2.
  • C) 7,6.
  • D) 8,2.
  • E) 8,4.

Resolução

1. Traduzir o dado das energias. “A energia do primeiro foi um décimo da do segundo”:

$$E_1 = \frac{E_2}{10} \quad\Rightarrow\quad \frac{E_2}{E_1} = 10$$

2. Substituir na fórmula. Como $\log 10 = 1$:

$$M_2 - 6{,}9 = \frac{2}{3} \log 10 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$$

3. Isolar $M_2$:

$$M_2 = 6{,}9 + 0{,}666\ldots = 7{,}566\ldots \approx 7{,}6$$

Resposta: alternativa C (7,6).

Cuidado com a pegadinha: se a razão for invertida ($\frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{10}$), o logaritmo vale $-1$ e se obtém $6{,}9 - 0{,}67 \approx 6{,}2$ (alternativa B). O segundo terremoto liberou mais energia, então tem magnitude maior.

Para revisar, veja Propriedades de Logaritmos.

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