Ocorreu-me ainda uma consequência do trabalho sobre a eletrodinâmica. O princípio da relatividade, junto com as equações de Maxwell, exige que a massa seja uma medida direta da energia contida num corpo. A ideia é engraçada e sedutora; mas não sei se o Senhor não está rindo disso e me fazendo de bobo.

— Albert Einstein, carta a Conrad Habicht (verão de 1905)

Em setembro de 1905, três meses depois do artigo da relatividade, Einstein mandou aos Annalen der Physik um complemento de apenas três páginas, com um título em forma de pergunta: “A inércia de um corpo depende do seu conteúdo de energia?”. A resposta era sim, e a conclusão, escrita em palavras e com outras letras, é a fórmula mais famosa da física:

$$\boxed{E=mc^2.}$$

O argumento, simplificado

Einstein imaginou um corpo parado que emite, ao mesmo tempo, dois pulsos de luz iguais em sentidos opostos, cada um com energia $\frac E2$. Como os pulsos se compensam, o corpo continua parado. Até aqui, nada de estranho: o corpo perdeu energia $E$.

Agora a mesma cena é vista por alguém que passa com velocidade $v$, pequena. Para esse observador, o corpo está em movimento, antes e depois, sempre com a mesma velocidade $v$. Mas, pela relatividade, a luz emitida para a frente parece um pouco mais energética e a emitida para trás, um pouco menos, por um fator que, para $v$ pequeno, dá no total

$$E\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right).$$

A energia total tem de se conservar para esse observador também. O corpo perdeu, além de $E$, uma quantidade extra $E\frac{v^2}{2c^2}$, e essa perda só pode ter saído da sua energia de movimento, $\frac12mv^2$. Como a velocidade não mudou, o que mudou foi a massa:

$$\frac12(\Delta m)\,v^2=E\,\frac{v^2}{2c^2}\quad\Longrightarrow\quad \Delta m=\frac{E}{c^2}.$$

Um corpo que perde energia $E$, em qualquer forma, perde massa $\frac E{c^2}$. Einstein concluiu: “a massa de um corpo é uma medida do seu conteúdo de energia”. Massa é energia guardada.

Quanto é isso?

O número $c^2$ é enorme: $(3\times10^8)^2=9\times10^{16}$ m²/s². Por isso uma massa pequena corresponde a uma energia gigantesca. Um único grama:

$$E=0{,}001\ \text{kg}\cdot9\times10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2\approx9\times10^{13}\ \text{J}.$$

É a energia de umas 21 mil toneladas de TNT, mais que a da bomba de Hiroshima, ou toda a eletricidade que uma cidade de uns 10 mil habitantes consome em um ano.

E ao contrário, uma energia do dia a dia corresponde a uma massa ridícula. Quando você aquece um litro de água de 20 °C a 100 °C, a água ganha cerca de 335 000 J, e a sua massa aumenta

$$\Delta m=\frac{335\,000}{9\times10^{16}}\approx3{,}7\times10^{-12}\ \text{kg},$$

uns 4 bilionésimos de grama. Nenhuma balança percebe. É por isso que, durante séculos, a massa pareceu se conservar exatamente.

O Sol e as estrelas

Onde a massa vira energia de verdade é no núcleo dos átomos. No centro do Sol, quatro núcleos de hidrogênio se fundem num núcleo de hélio. Mas a balança não fecha:

$$4\times1{,}00783\ \text{u}=4{,}03130\ \text{u}\quad\text{contra}\quad 4{,}00260\ \text{u}\ \text{do hélio}.$$

Faltam $0{,}0287$ u, cerca de 0,7% da massa. Essa massa sumida saiu como energia, $\Delta m\,c^2$, e é por isso que o Sol brilha. O Sol emite $3{,}8\times10^{26}$ watts; dividindo por $c^2$, ele perde

$$\frac{3{,}8\times10^{26}}{9\times10^{16}}\approx4{,}3\times10^{9}\ \text{kg por segundo},$$

mais de 4 milhões de toneladas por segundo. Mesmo nesse ritmo, em 4,6 bilhões de anos ele perdeu menos de um milésimo da sua massa.

Energia e movimento

A fórmula completa da relatividade para um corpo de massa $m$ que se move com velocidade $v$ é

$$E=\gamma\,mc^2,\qquad\gamma=\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Parado, $\gamma=1$ e sobra $E=mc^2$, a energia de repouso. Para velocidades pequenas, $\gamma\approx1+\frac{v^2}{2c^2}$, e

$$E\approx mc^2+\frac12mv^2.$$

O segundo termo é a velha energia cinética de Newton. A física clássica é um caso particular da de Einstein, para coisas lentas. E como $\gamma$ cresce sem limite quando $v\to c$, seria preciso energia infinita para levar um corpo com massa até a velocidade da luz: nada com massa a alcança.

Exercício: um carro de 1 000 kg a 108 km/h tem energia cinética de quantos joules? Quanto isso aumenta a sua massa?

Com $v=30$ m/s, $K=\frac12\cdot1\,000\cdot30^2=450\,000$ J. O aumento de massa é $\frac{450\,000}{9\times10^{16}}=5\times10^{-12}$ kg, cinco bilionésimos de grama. Em velocidades do dia a dia, a massa praticamente não muda.

Exercício: qual a energia de repouso de um elétron, de massa 9,11 × 10⁻³¹ kg, em elétron-volts?

$E=9{,}11\times10^{-31}\cdot(3\times10^8)^2\approx8{,}2\times10^{-14}$ J. Dividindo por $1{,}602\times10^{-19}$ J/eV, dá cerca de $511\,000$ eV, ou 0,511 MeV. Quando um elétron encontra a sua antipartícula, o pósitron, os dois desaparecem e sobram dois raios gama de exatamente 0,511 MeV cada. É assim que funcionam os exames de PET nos hospitais.

Fontes: Albert Einstein, “A inércia de um corpo depende do seu conteúdo de energia?”, Annalen der Physik 18 (1905), em O ano miraculoso de Einstein, org. John Stachel (Editora UFRJ, 2001) · David Bodanis, E=mc²: uma biografia da equação que mudou o mundo (Ediouro, 2001).

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