Os únicos sistemas de anéis que podem existir são, portanto, os compostos por um número indefinido de partículas desconectadas, girando em torno do planeta com velocidades diferentes, de acordo com as suas distâncias.

— James Clerk Maxwell, Sobre a estabilidade do movimento dos anéis de Saturno (1859)

Galileu viu Saturno pelo telescópio em 1610 e achou que o planeta tinha “orelhas”. Em 1655, Huygens percebeu que eram um anel fino e plano, que não toca o planeta. Duzentos anos depois, ninguém sabia do que o anel era feito. Seria um disco sólido, como um disco de vinil? Um líquido? Uma nuvem de pedras?

Em 1855, a Universidade de Cambridge escolheu essa pergunta como tema do Prêmio Adams, criado em homenagem ao astrônomo John Couch Adams, que tinha previsto a existência de Netuno. Os concorrentes deviam descobrir que tipo de anel poderia ficar estável. Maxwell, então com 24 anos, passou dois anos na questão. Foi o único candidato.

Kepler no anel

Comece pelo que se sabe de qualquer corpo em órbita circular. A gravidade do planeta, de massa $M$, faz o papel da força centrípeta:

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.$$

Quanto mais longe, mais devagar. É a terceira lei de Kepler, que os planetas obedecem em volta do Sol. Para Saturno, $GM\approx3{,}79\times10^{16}$ m³/s². Os anéis principais vão de uns 74 600 km a uns 136 800 km do centro do planeta. Então:

Distância ao centro de Saturno Velocidade orbital Tempo de uma volta
74 600 km (borda interna) 22,5 km/s 5,8 horas
92 000 km 20,3 km/s 7,9 horas
117 600 km 18,0 km/s 11,4 horas
136 800 km (borda externa) 16,7 km/s 14,3 horas

A borda de dentro dá uma volta em menos de 6 horas; a de fora, em mais de 14.

Por que um anel sólido não serve

Num disco rígido, todos os pontos dão uma volta no mesmo tempo: o disco gira inteiro, como uma roda. Então a velocidade de cada ponto cresce com a distância, $v=\omega r$, enquanto a gravidade exigiria que ela diminuísse, $v=\sqrt{GM/r}$. Não há como satisfazer as duas coisas em todos os pontos ao mesmo tempo.

Se o disco girar no ritmo certo para o meio, a parte de fora vai rápido demais, e a força para mantê-la em órbita teria de vir da própria rigidez do disco, que seria esticado para fora; a parte de dentro vai devagar demais e seria puxada para dentro. O anel inteiro ficaria sob tensões enormes. Maxwell calculou que nenhum material conhecido aguentaria, e mostrou algo mais: mesmo um anel sólido uniforme ideal seria instável. O menor desequilíbrio faria o anel se deslocar e bater no planeta. Huygens tinha imaginado um anel sólido; ele não poderia existir.

Um anel líquido também não serviria: Maxwell mostrou que ondas se formariam nele, cresceriam e o partiriam em gotas. Sobrava uma única possibilidade: o anel é feito de inúmeras partículas soltas, cada uma na sua própria órbita, com a velocidade que a gravidade lhe dá. As de dentro andam mais depressa e passam pelas de fora, como carros em pistas diferentes.

Saturno e os seus anéis fotografados de cima pela nave Cassini em outubro de 2013. Os anéis são feitos de bilhões de pedaços de gelo, de grãos de poeira a blocos do tamanho de casas.
Saturno e os seus anéis fotografados de cima pela nave Cassini em outubro de 2013. Os anéis são feitos de bilhões de pedaços de gelo, de grãos de poeira a blocos do tamanho de casas.NASA/JPL-Caltech/Space Science Institute · Wikimedia Commons · domínio público

A confirmação

Maxwell ganhou o prêmio, e o astrônomo real George Airy chamou o ensaio de “uma das mais notáveis aplicações da matemática à física que já vi”. A confirmação observacional veio aos poucos. Em 1895, o americano James Keeler mediu pelo efeito Doppler a velocidade de diferentes partes dos anéis e viu que a parte de dentro gira mais depressa, exatamente como previsto. Em 1980 e 1981, as naves Voyager passaram por Saturno, e entre 2004 e 2017 a nave Cassini orbitou o planeta: os anéis são feitos de bilhões de pedaços de gelo de água, de grãos de poeira a blocos de vários metros.

Quando a Voyager confirmou a teoria, Maxwell já tinha morrido havia cem anos. Hoje, uma faixa vazia dentro do anel C leva o nome dele: a Divisão de Maxwell.

Exercício: Mimas, uma lua de Saturno, orbita a 185 500 km do centro. Quanto tempo leva para dar uma volta?

A velocidade é $v=\sqrt{3{,}79\times10^{16}/1{,}855\times10^8}\approx14{,}3$ km/s. O comprimento da órbita é $2\pi\cdot185\,500\approx1{,}166\times10^6$ km. O período é $\frac{1{,}166\times10^6}{14{,}3}\approx81\,500$ s, cerca de 22,6 horas. Pela terceira lei de Kepler, $T\propto r^{3/2}$: comparado com a borda interna dos anéis, $\left(\frac{185\,500}{74\,600}\right)^{3/2}\approx3{,}9$ vezes mais, e $3{,}9\cdot5{,}8\approx22{,}6$ horas.

Exercício: se o anel fosse um disco rígido girando com o período da borda interna, 5,8 horas, qual seria a velocidade da borda externa? Compare com a velocidade orbital.

Num disco rígido, $v\propto r$: a borda externa andaria $22{,}5\cdot\frac{136\,800}{74\,600}\approx41{,}3$ km/s. A velocidade orbital ali é de só $16{,}7$ km/s, e a velocidade de escape é $\sqrt2$ vezes isso, uns 23,6 km/s. Um pedaço solto da borda externa sairia voando para longe de Saturno. Só a rigidez do material o seguraria, e nenhum material resiste a isso.

Fontes: James Clerk Maxwell, On the Stability of the Motion of Saturn’s Rings (Cambridge, 1859) · biografia de Maxwell, MacTutor · Saturno, NASA Science.

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