Em junho de 1830, aos 18 anos, Galois publicou um artigo curto, Sobre a teoria dos números, num boletim científico de Paris. Nele inventou números novos, que chamou de imaginários, para um mundo em que só existem finitos números. Por mais de um século, o artigo pareceu uma curiosidade. Hoje, ele está dentro de todo celular.

Contar com restos

Na aritmética do relógio, contamos só com os restos da divisão por um número fixo. Com o número 5, só existem $0, 1, 2, 3, 4$, e as contas “dão a volta”:

$$3+4=7\equiv2,\qquad3\cdot4=12\equiv2\pmod5.$$

Veja a tabuada da multiplicação módulo 5:

$\times$ 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1

Em cada linha aparece um 1. Isso quer dizer que todo número diferente de zero tem um inverso: $2\cdot3\equiv1$, $4\cdot4\equiv1$. Dá para dividir! Com 5 números só, temos uma aritmética completa, com as quatro operações, como a dos números racionais. Uma estrutura assim se chama corpo.

Com o número 6 isso falha. Como $2\cdot3=6\equiv0$, o 2 não pode ter inverso: se $2x\equiv1$, multiplicando por 3 teríamos $0\equiv3$. Os restos da divisão por $n$ formam um corpo exatamente quando $n$ é primo.

Um i para o mundo de três números

Módulo 3, só existem $0, 1, 2$. A equação $x^2+1=0$, ou seja, $x^2\equiv2$, não tem solução: $0^2=0$, $1^2=1$ e $2^2=4\equiv1$. É a mesma situação dos números reais, em que $x^2=-1$ não tem solução.

Galois fez o que se faz com os reais: inventou uma raiz. Chamou-a de $i$, com $i^2\equiv-1\equiv2$, e considerou todos os números da forma

$$a+bi,\qquad a,b\in\{0,1,2\}.$$

São $3\times3=9$ números, e as contas seguem as regras de sempre, reduzindo módulo 3. Por exemplo,

$$(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i.$$

Continuando, $(1+i)^4=(2i)^2=4i^2=-4\equiv2$, e $(1+i)^8=2^2=4\equiv1$. As oito potências $(1+i)^1,\dots,(1+i)^8$ são diferentes e percorrem todos os oito números diferentes de zero. O resultado é um corpo de nove elementos.

O teorema de Galois

Galois provou que o mesmo vale em geral. Para cada primo $p$ e cada $n\geq1$, existe um corpo com exatamente $p^n$ elementos, construído com uma raiz “imaginária” de um polinômio sem raízes módulo $p$. E em todo corpo finito há um elemento, como $1+i$ no exemplo, cujas potências dão todos os elementos não nulos. Mais tarde se provou que não há outros: todo corpo finito tem $p^n$ elementos, e dois corpos com o mesmo número de elementos são, no fundo, o mesmo. Em homenagem a ele, o corpo de $p^n$ elementos se chama corpo de Galois e se escreve $\mathrm{GF}(p^n)$.

Dentro do celular

Os computadores guardam tudo em bytes de 8 bits, e há $2^8=256$ bytes diferentes. Exatamente o número de elementos de $\mathrm{GF}(2^8)$. Tratando cada byte como um elemento desse corpo, é possível somar, multiplicar e dividir bytes, e isso abre caminho para duas tecnologias:

  • Os códigos de Reed-Solomon, de 1960, acrescentam aos dados alguns bytes de controle calculados com polinômios sobre um corpo de Galois. Se parte dos dados se perde, as equações permitem recuperá-la. Eles são usados em CDs e DVDs, que continuam tocando mesmo arranhados, nos QR codes, que podem ser lidos com até 30% da imagem estragada, e nas comunicações com sondas espaciais.
  • O AES, o padrão de criptografia adotado pelo governo americano em 2001 e usado nas conexões seguras da internet, embaralha os dados com contas em $\mathrm{GF}(2^8)$.
Exercício: módulo 7, qual é o inverso de 3? E o de 6?

Procuramos $x$ com $3x\equiv1\pmod7$. Testando, $3\cdot5=15=2\cdot7+1$: o inverso de 3 é 5. Para o 6, $6\cdot6=36=5\cdot7+1$: o 6 é o seu próprio inverso. Faz sentido, porque $6\equiv-1$ e $(-1)\cdot(-1)=1$.

Exercício: no corpo de nove elementos, calcule (1 + i)(2 + i).

$(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^2=2+3i-1=1+3i$. Como $3\equiv0$, o resultado é $1$. Então $2+i$ é o inverso de $1+i$: neste mundo de nove números, $\frac1{1+i}=2+i$.

Fontes: Évariste Galois, “Sur la théorie des nombres”, Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13 (1830) · Rudolf Lidl e Harald Niederreiter, Finite Fields (Cambridge University Press, 1997) · Irving Reed e Gustave Solomon, “Polynomial codes over certain finite fields”, Journal of the SIAM 8 (1960).

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