Da exploração à demonstração

Localizar √2 em intervalos ajuda a visualizar. A demonstração da irracionalidade precisa do argumento matemático apresentado nesta aula.

Explore os controles e explique o que mudou com suas próprias palavras.

Por que √2 não pode ser uma fração?

Suponha, para obter uma contradição, que √2 = a/b, com a e b inteiros positivos e a fração irredutível. Então a² = 2b², de modo que a² é par. Se a fosse ímpar, seu quadrado seria ímpar; portanto a é par. Escreva a = 2k. Substituindo, 4k² = 2b², ou b² = 2k², o que também torna b par.

Assim, a e b seriam divisíveis por 2, contrariando a hipótese de fração irredutível. Logo, √2 é irracional. A aproximação decimal não foi usada como prova.

Operações: investigue antes de generalizar

Operação Resultado Classificação
√2 + (−√2) 0 Racional
√2 × √2 2 Racional
1 + √2 1 + √2 Irracional
2√2 2√2 Irracional

Se r é racional e x é irracional, r + x é irracional: caso a soma fosse racional, subtrair r tornaria x racional, uma contradição. Se r ≠ 0, o mesmo raciocínio, usando divisão, mostra que rx é irracional. A condição r ≠ 0 é necessária: 0 × x = 0.

Desafio dos logaritmos

log₂8 é irracional? E log₂3?

Conferir a justificativa

log₂8 = 3 é racional. Se log₂3 = p/q fosse racional, com p e q inteiros positivos, teríamos 2ᵖ = 3ᑫ. Isso é impossível: o lado esquerdo é par e o direito é ímpar. Portanto, log₂3 é irracional.

Continue no capítulo de logaritmos.