Calculemus: a ideia de calcular raciocínios

A única maneira de corrigir nossos raciocínios é torná-los tão palpáveis quanto os dos matemáticos, de modo que possamos achar nosso erro num relance. E, quando houver disputas entre as pessoas, poderemos simplesmente dizer: calculemos!, sem mais delongas, para ver quem tem razão.

— Leibniz, A arte da descoberta (1685)

Leibniz era advogado, diplomata e filósofo. Passou a vida vendo discussões que não terminavam nunca, entre religiões, entre países, entre escolas filosóficas. Um matemático, por outro lado, não discute se $2+2$ é 4: faz a conta. E se os raciocínios pudessem ser calculados como números?

Um alfabeto do pensamento

O plano tinha duas partes.

A primeira era uma língua universal, que Leibniz chamou de characteristica universalis. Nela, cada ideia simples teria um símbolo, e as ideias complexas seriam combinações desses símbolos, assim como as palavras são combinações de letras. Leibniz começou a pensar nisso aos 20 anos, em De arte combinatoria, de 1666.

A segunda era um cálculo do raciocínio, o calculus ratiocinator: regras para manipular os símbolos e chegar a conclusões corretas, mecanicamente, como se faz numa conta de somar. Nesse mundo, uma discussão seria resolvida com lápis e papel.

Conceitos como números primos

Leibniz chegou a testar uma versão com números. A ideia: dar a cada conceito simples um número primo, e a cada conceito composto o produto dos primos de suas partes.

Por exemplo, na definição clássica, “homem é um animal racional”. Se animal $=2$ e racional $=3$, então homem $=2\times3=6$.

Agora, a frase “todo homem é animal” vira uma pergunta de aritmética: 2 divide 6? Sim, então a frase é verdadeira. E “todo animal é homem”? 6 divide 2? Não, então é falsa. Um raciocínio sobre conceitos virou uma conta de divisão.

O sistema tinha problemas sérios. Não funcionava bem com negações nem com frases do tipo “algum”. Leibniz sabia disso e continuou tentando outras formas. Mas a ideia central, de que a lógica pode ser álgebra, estava lançada.

Um exemplo com a notação de hoje

Hoje escrevemos raciocínios com símbolos lógicos. Considere três afirmações sobre uma figura:

• $P$: a figura é um quadrado;
• $Q$: a figura é um retângulo;
• $R$: as diagonais da figura têm o mesmo comprimento.

Se $P\Rightarrow Q$ (todo quadrado é retângulo) e $Q\Rightarrow R$ (todo retângulo tem diagonais iguais), então $P\Rightarrow R$. A conclusão vem da forma do argumento, sem precisar pensar em quadrados. Isso é exatamente o que Leibniz queria: verificar um raciocínio olhando só para os símbolos.

Mas os símbolos não fazem milagre. Se uma premissa estiver errada, a conclusão pode estar errada, por mais certa que seja a conta. E inverter uma implicação é um erro comum: de “todo quadrado é retângulo” não se conclui que todo retângulo é quadrado.

Combinar não é interpretar

Três afirmações, cada uma verdadeira ou falsa, dão $2^3=8$ combinações possíveis: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Repare que são os números de 0 a 7 em binário. A ligação entre lógica e números com 0 e 1, que Leibniz intuía, se tornaria central dois séculos depois.

O sonho realizado, em parte

Os escritos de Leibniz sobre lógica ficaram quase todos inéditos até o século XIX. Ainda assim, a ideia voltou:

• Em 1854, George Boole publicou As leis do pensamento, transformando a lógica numa álgebra com 0 e 1.
• Em 1879, Gottlob Frege criou uma linguagem simbólica completa para a lógica, muito próxima do que Leibniz imaginara.
• Em 1936, Alan Turing descreveu uma máquina abstrata capaz de executar qualquer cálculo descrito por regras.

Em 1931, porém, Kurt Gödel provou que nenhum sistema de regras consegue decidir todas as verdades da matemática. O sonho completo de Leibniz é impossível. Mas a parte possível dele está em todo computador: um mecanismo que manipula símbolos seguindo regras.

Fontes: Leibniz, lógica e filosofia, MacTutor.

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