1788 年，拉格朗日把牛顿力学变成了一组在任何坐标下都成立的方程。哈密顿很欣赏这本书，称它为“一种科学的诗篇”。1834 年和 1835 年，他在两篇《论动力学中的一般方法》中把这一思想向前推进，把他从光线中学到的东西带进了力学。

位置与动量

拉格朗日用位置 $q$ 和速度 $\dot q$ 描述一个系统。哈密顿把速度换成了动量 $p$（对简单的粒子，就是质量乘以速度，$p = m\dot q$），并把一个单一的函数放在一切的中心，即哈密顿量 $H(q, p)$。在大多数情况下，它就是总能量，动能加势能：

$$H = T + V.$$

整个运动都来自两个几乎完全对称的方程：

$$\frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q}.$$

弹簧

对一个连在劲度系数为 $k$ 的弹簧上的质量 $m$，

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k q^2}{2}.$$

哈密顿方程给出

$$\frac{dq}{dt} = \frac{p}{m}, \qquad \frac{dp}{dt} = -kq.$$

第一个方程说动量是质量乘以速度；第二个是胡克定律，即弹簧的力。两者合起来给出 $m\ddot q = -kq$：熟悉的振动。又因为 $\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\frac{dq}{dt} + \frac{\partial H}{\partial p}\frac{dp}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q} = 0$，能量自动守恒。

相空间

哈密顿形式的最大优点是几何上的。系统在某一时刻的状态是一个点 $(q, p)$，而方程告诉我们这个点往哪里走。由于 $H$ 不变，这个点总是沿着同一条等值线 $H(q, p) = \text{常数}$ 运动。要理解所有可能的运动，只需画出一个二元函数的等值线。

对单摆，选取适当的单位使问题简单，$q$ 是角度，$H = \frac{p^2}{2} - \cos q$。改变能量，然后放开单摆：

能量小时，曲线是闭合的椭圆形：单摆来回摆动。能量大时，曲线是开放的：单摆整圈转动。两者之间有一条特殊的曲线，即分界线，在这条线上单摆要花无穷长的时间才能到达最高点。

练习：自由落体

高度为 $q$、质量为 $m$ 的石头有 $H = \frac{p^2}{2m} + mgq$。写出哈密顿方程，并对从静止释放的石头求解。

$\frac{dq}{dt} = \frac{p}{m}$，$\frac{dp}{dt} = -mg$。第二个方程给出 $p = -mgt$；第一个给出 $\frac{dq}{dt} = -gt$，即 $q = q_0 - \frac{g t^2}{2}$。这就是伽利略的落体。

练习：单摆的振幅

取 $H = \frac{p^2}{2} - \cos q$，当 $H = 0$ 时单摆的最大摆角 $a$ 是多少？$H = -\frac12$ 时呢？

在摆动的最高点单摆停下，$p = 0$，于是 $-\cos a = H$。$H = 0$ 时 $\cos a = 0$，$a = 90°$。$H = -\frac12$ 时 $\cos a = \frac12$，$a = 60°$。可以在交互图中验证。

来源： William Rowan Hamilton, “On a General Method in Dynamics”, Philosophical Transactions（1834）及 “Second Essay on a General Method in Dynamics”（1835）· Thomas L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton（1980）· Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics（1949）。

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