Mecânica

A vida de Johann Bernoulli

Linha do tempo 1667Nasce em 27 de julho, em Basileia, décimo filho de Nicolaus Bernoulli. 1682É mandado a Neuchâtel para aprender o comércio. Não leva jeito. 1683Entra na Universidade de Basileia. Estuda medicina e, com o irmão Jakob, matemática. 1691Resolve o problema da catenária. Viaja a Genebra e depois a Paris. 1692Começa a dar aulas de cálculo ao marquês de l’Hôpital. 1694Doutora-se em medicina. Assina um contrato com l’Hôpital e casa-se com Dorothea Falkner. 1695Torna-se professor de matemática em Groningen, na Holanda. 1696Lança o desafio da braquistócrona. Sai o livro de l’Hôpital, feito com as suas aulas. 1705Volta a Basileia. Jakob morre, e Johann herda a sua cátedra. 1717Enuncia, numa carta a Varignon, o princípio dos trabalhos virtuais. 1720Começa a orientar o jovem Leonhard Euler. 1734Divide um prêmio da Academia de Paris com o filho Daniel e o expulsa de casa. 1748Morre em 1º de janeiro, em Basileia, aos 80 anos. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1667–1682 BasileiaNasce, décimo filho de Nicolaus Bernoulli, que quer fazer dele um comerciante. 1682 NeuchâtelÉ mandado para aprender o comércio. Não leva jeito. 1683–1691 BasileiaEstuda medicina e, com o irmão Jakob, o cálculo de Leibniz. Resolve o problema da catenária. 1691 GenebraPassa por Genebra a caminho de Paris. 1691–1692 ParisConhece o círculo de Malebranche e passa a dar aulas de cálculo ao marquês de l’Hôpital, também no castelo de Oucques. 1695–1705 GroningenProfessor de matemática na Holanda. Em 1696 lança o desafio da braquistócrona. 1705–1748 BasileiaVolta para casa, herda a cátedra de Jakob, orienta o jovem Euler e briga com o filho Daniel. Morre em 1748, aos 80 anos. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Johann Bernoulli entre Basileia, Paris e Groningen. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

A vida de Joseph-Louis Lagrange

Linha do tempo 1736Nasce em 25 de janeiro, em Turim, capital do Reino da Sardenha, com o nome de Giuseppe Lodovico Lagrangia. 1753Aos 17 anos, lê um ensaio de Edmond Halley e decide dedicar-se à matemática. 1755Escreve a Euler o método que dará origem ao cálculo das variações. Em setembro, é nomeado professor da Escola de Artilharia de Turim, aos 19 anos. 1757Ajuda a fundar a sociedade científica que se tornará a Academia de Ciências de Turim. 1764Ganha o prêmio da Academia de Paris explicando por que a Lua mostra sempre a mesma face. 1766Muda-se para Berlim para ocupar o lugar de Euler na Academia de Frederico, o Grande. 1770Prova que todo número inteiro é soma de quatro quadrados e começa a estudar as permutações das raízes de uma equação. 1772Divide com Euler o prêmio de Paris pelo problema dos três corpos, onde aparecem os pontos de Lagrange. 1787Com a morte de Frederico, muda-se para Paris, onde passa a morar no Louvre. 1788Publica a Mecânica analítica. 1790Entra para a comissão que criará o sistema métrico. 1794Lavoisier é guilhotinado. Lagrange torna-se professor da nova Escola Politécnica. 1797Publica a Teoria das funções analíticas, com a notação $f'(x)$. 1808Napoleão o faz conde do Império. 1813Morre em 10 de abril, em Paris, e é sepultado no Panteão. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1736–1766 TurimAos 19 anos é professor da Escola de Artilharia. Escreve a Euler o método que dará origem ao cálculo das variações. 1766–1787 BerlimOcupa o lugar de Euler na Academia de Frederico, o Grande. Prova o teorema dos quatro quadrados e encontra os pontos de Lagrange. 1787–1813 ParisMora no Louvre, publica a Mecânica analítica, ajuda a criar o sistema métrico e ensina na Escola Politécnica. É sepultado no Panteão. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Lagrange em três capitais, Turim, Berlim e Paris. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

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A catenária: a corrente pendurada

Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum. (Assim como pende o fio flexível, assim ficará de pé, invertido, o arco rígido.) — Robert Hooke, anagrama decifrado em 1705 Pegue uma corrente fina pelas duas pontas e deixe-a pender. Ela forma uma curva bonita, que parece uma parábola. Galileu, em 1638, achou que fosse mesmo uma parábola, pelo menos aproximadamente. O holandês Christiaan Huygens, aos 17 anos, mostrou que não podia ser. Mas que curva era, ninguém sabia.

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O cálculo das variações: a carta de um jovem de 19 anos

O cálculo de Newton e Leibniz sabe achar o ponto mais alto de uma curva: é onde a derivada se anula. Mas há perguntas de outro tipo. Qual é o caminho mais curto entre dois pontos? Qual é a forma de um escorregador em que uma bolinha desce mais depressa? Qual é a curva de um fio pendurado? Nessas perguntas, a resposta não é um número, é uma curva inteira, escolhida entre infinitas curvas possíveis.

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A Mecânica analítica: um livro sem figuras

Abra os Principia de Newton, de 1687, e você verá figuras em quase toda página: triângulos, elipses, setas, tangentes. Abra a Mecânica analítica de Lagrange, publicada cem anos depois, em 1788, e não verá nenhuma. O próprio autor avisa isso no prefácio, com orgulho, e completa: Os que amam a análise verão com prazer a mecânica tornar-se um novo ramo dela, e me serão gratos por ter assim estendido o seu domínio. — Joseph-Louis Lagrange, prefácio da Mecânica analítica (1788)

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A regra de l'Hôpital: as aulas vendidas a um marquês

Reconheço dever muito às luzes dos senhores Bernoulli, sobretudo às do mais jovem, hoje professor em Groningen. Servi-me sem cerimônia das suas descobertas e das do senhor Leibniz. — Marquês de l'Hôpital, prefácio da Análise dos infinitamente pequenos (1696) Em 1691, o marquês Guillaume de l’Hôpital tinha 30 anos, um título, um castelo, e uma paixão: entender o cálculo de Leibniz, que mal tinha sido publicado e que quase ninguém na França conseguia ler. Quando o jovem suíço Johann Bernoulli, que sabia o cálculo melhor do que quase todo mundo, apareceu em Paris, o marquês o contratou como professor particular.

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A braquistócrona: o desafio de 1696

Dados dois pontos A e B num plano vertical, encontrar a curva AMB pela qual um corpo móvel M, descendo pelo próprio peso, vai de A a B no menor tempo possível. — Johann Bernoulli, Acta Eruditorum (junho de 1696) Em junho de 1696, nas Acta Eruditorum, Johann Bernoulli desafiou “os matemáticos mais perspicazes do mundo inteiro”. A pergunta parece de parque de diversões: qual é o formato do escorregador mais rápido entre dois pontos? O nome do problema vem do grego: brachistos, o mais curto, e chronos, tempo. Braquistócrona, a curva do menor tempo.

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Os pontos de Lagrange: onde a gravidade se equilibra

Em 25 de dezembro de 2021, um foguete partiu da Guiana Francesa levando o telescópio espacial James Webb. Ele não foi colocado em órbita da Terra, como o Hubble. Viajou um mês até um ponto vazio do espaço, a 1,5 milhão de quilômetros daqui, sempre do lado oposto ao Sol, e ficou lá. O endereço desse ponto sai de um trabalho premiado de Lagrange, de 1772. Chama-se L2. Três corpos Newton resolveu por completo o movimento de dois corpos que se atraem, como o Sol e um planeta: cada um descreve uma elipse. Com três corpos, por exemplo o Sol, a Terra e a Lua, tudo se complica. Cada corpo puxa os outros dois, e o movimento pode ficar caótico. Os matemáticos do século XVIII sabiam que não ia ser fácil, e a Academia de Paris pôs o problema várias vezes como tema de prêmio.

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O cálculo exponencial: derivar x elevado a x

O cálculo de Leibniz sabia derivar potências com expoente fixo, como $x^3$ ou $x^{1/2}$: a derivada de $x^n$ é $nx^{n-1}$. Mas, em 1694, numa carta a Leibniz, Johann Bernoulli pôs na mesa um bicho estranho: a expressão $$y=x^x,$$em que a base e o expoente variam ao mesmo tempo. A regra de $x^n$ não serve, porque o expoente não é fixo. A regra de $a^x$ também não, porque a base não é fixa. Em 1697, Johann publicou nas Acta Eruditorum os “princípios do cálculo exponencial”, com o método para tratar essas potências, que ele chamava de percorrentes, porque o expoente percorre valores.

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Quatro quadrados bastam

Pegue um número inteiro positivo qualquer e tente escrevê-lo como soma de quadrados perfeitos, $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$, usando o menor número possível de parcelas: $$\begin{aligned} 5&=4+1,\\ 6&=4+1+1,\\ 7&=4+1+1+1,\\ 30&=25+4+1,\\ 2026&=2025+1=45^2+1^2. \end{aligned}$$Alguns números são quadrados, outros precisam de dois, outros de três. O 7 precisa de quatro: não há outro jeito. Será que algum número precisa de cinco? Em 1770, Lagrange provou que não: Todo número inteiro positivo é soma de quatro quadrados de inteiros.

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O princípio dos trabalhos virtuais

Em todo equilíbrio de forças quaisquer, de qualquer maneira que estejam aplicadas, a soma das energias positivas será igual à soma das energias negativas. — Johann Bernoulli, carta a Pierre Varignon (26 de janeiro de 1717) Desde Arquimedes, cada máquina simples tinha a sua própria explicação. A alavanca obedecia à lei dos braços; o plano inclinado, a uma decomposição de forças inventada por Stevin; a roldana, a um raciocínio sobre as cordas; o parafuso, a outro. Em 1717, numa carta ao amigo francês Pierre Varignon, Johann Bernoulli mostrou que todas essas leis são casos de um único princípio.

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Permutar as raízes: o teorema de Lagrange

Em 1770, a álgebra tinha um problema parado havia mais de dois séculos. Existiam fórmulas para resolver as equações de grau 2, a de Bhaskara, e também as de grau 3 e 4, publicadas por Cardano em 1545. Para o grau 5, ninguém achava nada. Os melhores matemáticos tinham tentado, e cada método que funcionava até o grau 4 emperrava no 5. Lagrange não tentou mais um método. Fez uma pergunta diferente: por que os métodos antigos funcionam?

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