Euler's Eyes
2026-10-27
ウィリアム・ローワン・ハミルトンの遺産
ハミルトンの原理は現代物理学の礎石となった。物理学者は、あらゆる物理現象がそれに従うことを期待しているのである。
— エルヴィン・シュレーディンガー（1943）
ハミルトンは、四元数こそ自分の大きな仕事であり、未来の物理学のことばになると信じていた。細部では誤り、本質では正しかった。物理学はギブズとヘヴィサイドのベクトルを採用したが、ハミルトン自身はそれほど重要と思っていなかった力学が、その後のほとんどすべての土台になったのである。
物理学で
- 量子力学。シュレーディンガー方程式では、系のエネルギーは演算子、つまりハミルトニアン $\hat H$ である。原子のエネルギー準位を計算することは、そのハミルトニアンの固有値を求めることだ。
- **統計力学とカオス。**各状態が一つの点であるハミルトンの相空間は、統計熱力学とカオス理論の舞台である。相空間の体積が保存されるというリウヴィルの定理は、ハミルトンの方程式から直接出てくる。
- **光学。**特性関数は今も光学系の設計に使われ、円錐屈折は二十一世紀に入ってレーザーを使って再び研究されている。
数学と計算で
- **代数。**交換法則を捨てることで、ハミルトンは抽象代数への扉を開いた。行列、八元数、リー代数、クリフォード代数。問題が求める規則をもつ代数を発明してよい、という考えは、かなりの部分が彼のものである。
- **グラフィックスと航法。**四元数は、ビデオゲームのキャラクター、映画のカメラ、ロボットの腕、宇宙望遠鏡、そしてあなたのポケットの携帯電話を回している。
- **グラフ。**ハミルトン閉路は計算量理論の中心的な問題の一つである。
ダブリンで
1943 年、橋の百周年に、アイルランドはハミルトンの顔をあしらった切手を二種類発行し、かつて数学教師だった政府首班イーモン・デ・ヴァレラが記念行事を推し進めた。当時デ・ヴァレラが創設したダブリン高等研究所にいたシュレーディンガーは、ハミルトンの仕事について講演した。1958 年には、失われた刻字に代わる銘板がブルーム橋に取りつけられた。そして 1990 年以来、毎年 10 月 16 日に、数学者たちはダンシンク天文台から橋までのハミルトン・ウォークを行い、1843 年の道筋をたどっている。マレー・ゲルマンやスティーヴン・ワインバーグのようなノーベル賞物理学者や、数学者アンドリュー・ワイルズも歩いた。
彼をどう語るか
ハミルトンは燃えつきなかった神童である。21 歳ですでに独自の理論をもち、38 歳で散歩の途中に最大の発見をした。私生活は苦しく、酒を飲みすぎ、乱雑の中で働いた人でもあった。だが彼が残した教訓は一つの自由である。算術の規則は神聖なものではない。問題が新しい代数を求めるなら、矛盾がないかぎり、それを発明してよい。二十世紀の数学がその構造を築いたのは、この自由によってであった。
練習：四元数か行列か
回転は $3 \times 3$ 行列としても、単位四元数としても保存できる。二つの回転を合成するのに、それぞれ何回の数の掛け算が必要か。
二つの $3 \times 3$ 行列の積では、9 個の成分のそれぞれが 3 つの積の和なので、$27$ 回の掛け算になる。二つの四元数の積では、4 つの部分のそれぞれが 4 つの積の和なので、$16$ 回である。しかも四元数は 9 個ではなく 4 個の数を保存すればよく、丸め誤差も、自分の大きさで割るだけで簡単に直せる。
練習：絶対値の法則のはたらき
$p = 1 + i + j$ に $q = 1 + 2i$ を掛け、$\lvert pq \rvert^2 = \lvert p \rvert^2 \lvert q \rvert^2$ を確かめよ。
$pq = 1 + 2i + i + 2i^2 + j + 2ji = 1 + 3i - 2 + j - 2k = -1 + 3i + j - 2k$ である。よって $\lvert pq \rvert^2 = 1 + 9 + 1 + 4 = 15$、また $\lvert p \rvert^2 \lvert q \rvert^2 = 3 \times 5 = 15$。三つの平方の和ではない $15$ が、ここでは四つの平方の和として現れる。ハミルトンが四つ目の次元を必要とした理由がこれである。
出典： Thomas L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton（1980）· Erwin Schrödinger, “The Hamilton Postage Stamp: An Announcement”（1943）、A Collection of Papers in Memory of Sir William Rowan Hamilton（1945）所収 · ハミルトン・ウォーク、メイヌース大学 · ハミルトンの伝記、MacTutor。