哈密顿原理已经成为现代物理学的基石，物理学家期望每一种物理现象都与之相符。

— 埃尔温·薛定谔（1943）

哈密顿相信四元数会是他的伟大作品，是未来物理学的语言。他在细节上错了，在本质上对了。物理学采用了吉布斯和亥维赛的向量，但哈密顿自己认为不那么重要的力学，却成了此后几乎一切的基础。

在物理学中

  • 量子力学。 在薛定谔方程中，系统的能量是一个算符，即哈密顿量 $\hat H$。计算一个原子的能级，就是求它的哈密顿量的本征值。
  • 统计力学与混沌。 哈密顿的相空间，其中每个状态是一个点，是统计热力学和混沌理论的舞台。刘维尔定理，即相空间中的体积守恒，是哈密顿方程的直接推论。
  • 光学。 特征函数仍被用于光学系统的设计，而锥形折射在二十一世纪又借助激光重新得到研究。

在数学与计算中

  • 代数。 哈密顿放弃交换律，打开了通往抽象代数的大门：矩阵、八元数、李代数、克利福德代数。认为可以按照一个问题的需要发明一种代数，这一思想在很大程度上出自他。
  • 图形与导航。 四元数让电子游戏角色、电影摄像机、机器人手臂、太空望远镜以及你口袋里的手机转动起来。
  • 图论。 哈密顿回路是计算复杂性理论的核心问题之一。

在都柏林

爱尔兰在 1943 年 11 月为纪念四元数发现一百周年发行的半便士邮票。
爱尔兰在 1943 年 11 月为纪念四元数发现一百周年发行的半便士邮票。爱尔兰邮政 · Wikimedia Commons · 公有领域

1943 年，在那座桥的百年纪念时，爱尔兰发行了两枚印有哈密顿头像的邮票，曾当过数学教师的政府首脑埃蒙·德瓦莱拉推动了纪念活动。当时住在都柏林、在德瓦莱拉创办的高等研究院工作的薛定谔，就哈密顿的工作做了演讲。1958 年，布鲁姆桥上安放了取代已消失刻字的纪念牌。自 1990 年起，每年 10 月 16 日，数学家们都会进行哈密顿散步，从邓辛克天文台走到那座桥，重走 1843 年的路线。获得诺贝尔奖的物理学家默里·盖尔曼和史蒂文·温伯格，以及数学家安德鲁·怀尔斯，都曾参加过。

J. 柯克伍德根据 C. 格雷的素描制作的威廉·罗恩·哈密顿爵士蚀刻像。
J. 柯克伍德根据 C. 格雷的素描制作的威廉·罗恩·哈密顿爵士蚀刻像。Wellcome Collection · Wikimedia Commons · CC BY 4.0

怎样评价他

哈密顿是一个没有熄灭的神童：21 岁时他已有自己的原创理论，38 岁时在一次散步中做出了最伟大的发现。他也是一个个人生活艰难的人，饮酒过度，在凌乱中工作。但他留下的启示是一种自由：算术的规则并不神圣。当一个问题需要一种新的代数时，只要它是自洽的，就可以把它发明出来。二十世纪的数学正是凭着这种自由建立起了它的种种结构。

练习：四元数还是矩阵？

一个旋转可以存成一个 $3 \times 3$ 矩阵，也可以存成一个单位四元数。在两种情况下，复合两个旋转各需要多少次数的乘法？

两个 $3 \times 3$ 矩阵相乘时，9 个元素中的每一个都是 3 个乘积之和：$27$ 次乘法。两个四元数相乘时，4 个部分中的每一个都是 4 个乘积之和：$16$ 次乘法。此外，四元数只存 4 个数而不是 9 个，舍入误差也容易纠正：只要除以它的大小即可。

练习：模的定律的应用

把 $p = 1 + i + j$ 乘以 $q = 1 + 2i$，并验证 $\lvert pq \rvert^2 = \lvert p \rvert^2 \lvert q \rvert^2$。

$pq = 1 + 2i + i + 2i^2 + j + 2ji = 1 + 3i - 2 + j - 2k = -1 + 3i + j - 2k$。于是 $\lvert pq \rvert^2 = 1 + 9 + 1 + 4 = 15$，而 $\lvert p \rvert^2 \lvert q \rvert^2 = 3 \times 5 = 15$。$15$ 不是三个平方数之和，在这里却表示成了四个平方数之和：这正是哈密顿需要第四维的原因。

来源： Thomas L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton（1980）· Erwin Schrödinger, “The Hamilton Postage Stamp: An Announcement”（1943），载 A Collection of Papers in Memory of Sir William Rowan Hamilton（1945）· 哈密顿散步，梅努斯大学 · 哈密顿传记，MacTutor。

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