1812 年 11 月 30 日，来自瑟堡的年轻工程师在法兰西学会宣读了一篇标题很长的论文：论那些在变量互换时只能取两个大小相等、符号相反的值的函数。标题背后，是第一套一般的行列式理论。

会变号的函数

取三个变量 $a_1, a_2, a_3$，以及它们之差的乘积

$$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).$$

如果交换 $a_1$ 和 $a_2$，每个因子要么不变，要么变号，总的结果是 $\Delta$ 变成 $-\Delta$。交换任何两个变量都是如此。变量的置换是一连串交换，它把 $\Delta$ 乘以 $+1$ 或 $-1$：置换分为偶置换和奇置换。

柯西用这个观察整理了莱布尼茨、克拉默、范德蒙德和拉普拉斯在解线性方程组时得到的各种表达式。他把 $n^2$ 个系数排成一个方阵，用两个下标记为 $a_{i,j}$，并把行列式定义为所有这样的乘积之和：每个乘积从每一行、每一列各取一个元素，并带上相应置换的符号：

$$\det\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix} = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}.$$

“行列式”（déterminant）这个词来自高斯，他曾把它用于二次型；是柯西把它固定为今天的含义。

乘积

这篇论文的主要结果是乘积定理：如果 $C$ 是 $A$ 与 $B$ 按行乘列得到的方阵，那么

$$\det C = \det A \cdot \det B.$$

雅克·比内在同一年也提出了这个定理，适用于长方阵列的一般形式今天称为柯西–比内公式。用数字验证一下。设

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},$$

则 $\det A = 6 - 1 = 5$，$\det B = 1 - 8 = -7$。乘积是

$$AB = \begin{pmatrix} 2 + 2 & 8 + 1 \\ 1 + 6 & 4 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 7 & 7 \end{pmatrix},$$

而 $\det(AB) = 28 - 63 = -35 = 5 \cdot (-7)$。

三十年后的置换

在 1815 年的姊妹篇论文中，柯西研究了 $n$ 个变量的函数在变量置换下最多能取多少个不同的值，延续了拉格朗日和鲁菲尼的工作。之后他便放下了这个课题。1844 年，回到巴黎却不能教书的他重新拾起这个课题，几个月内发表了一系列论文，奠定了置换群理论。

轮换记号就是在那里出现的：$(1\;2\;3)$ 表示“1 变到 2，2 变到 3，3 变到 1”。复合两个置换时，先作用右边的那个。设 $\sigma = (1\;2\;3)$，$\tau = (1\;2)$：

$$1 \xrightarrow{\tau} 2 \xrightarrow{\sigma} 3, \qquad 2 \xrightarrow{\tau} 1 \xrightarrow{\sigma} 2, \qquad 3 \xrightarrow{\tau} 3 \xrightarrow{\sigma} 1,$$

因此 $\sigma\tau = (1\;3)$。一组在复合下封闭的置换，柯西称之为“共轭代换系”，就是今天所说的群；“群”这个词，伽罗瓦早已在他的手稿中用过，而那些手稿直到 1846 年才发表。

柯西定理

1845 年，柯西证明了以他命名的定理：如果素数 $p$ 整除一个有限群的元素个数，那么这个群中有一个 $p$ 阶元素，也就是说，存在 $x \ne e$ 使 $x^p = e$。

柯西原来的证明很长。1959 年，詹姆斯·麦凯找到了一个只需几行的证明。考虑群 $G$ 中满足 $x_1 x_2 \cdots x_p = e$ 的序列 $(x_1, x_2, \ldots, x_p)$。前 $p - 1$ 个元素可以任意选，最后一个随之确定：这样的序列共有 $|G|^{p-1}$ 个，是 $p$ 的倍数。如果一个序列的乘积是 $e$，把它轮转得到的 $(x_2, \ldots, x_p, x_1)$ 也是。在轮转下，这些序列分成一组组，每组含 $p$ 个不同的序列；例外的只有常序列 $(x, x, \ldots, x)$，它们自成一组，而这恰好是满足 $x^p = e$ 的那些。总数是 $p$ 的倍数，各组也是，所以常序列的个数也是 $p$ 的倍数。其中一个是 $(e, \ldots, e)$；因此至少还有 $p - 1$ 个别的，每一个都给出一个 $p$ 阶元素。

练习：S₃ 中的柯西定理

$\{1, 2, 3\}$ 的置换群有 $6 = 2 \cdot 3$ 个元素。找出柯西定理所保证的 2 阶元素和 3 阶元素。

六个元素是恒等置换 $e$、三个对换 $(1\;2)$、$(1\;3)$、$(2\;3)$，以及两个轮换 $(1\;2\;3)$、$(1\;3\;2)$。每个对换作用两次就回到原状：2 阶。每个三元轮换作用三次回到原状：3 阶。也可以验证麦凯的计数：$x^2 = e$ 的解是 $e$ 和三个对换，共四个，是 2 的倍数；$x^3 = e$ 的解是 $e$ 和两个轮换，共三个，是 3 的倍数。

练习：幂的行列式

用乘积定理计算 $\det(A^{10})$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。

$\det A = 0 - 1 = -1$。由乘积定理，$\det(A^{10}) = (\det A)^{10} = (-1)^{10} = 1$。顺便一提，$A^{10} = \begin{pmatrix} 89 & 55 \\ 55 & 34 \end{pmatrix}$，元素都是斐波那契数，而且确实 $89 \cdot 34 - 55^2 = 3026 - 3025 = 1$。

来源： Augustin-Louis Cauchy，“Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires…”，Journal de l’École polytechnique（1815） · Augustin-Louis Cauchy，“Mémoire sur les arrangements que l’on peut former avec des lettres données”，Exercices d’analyse et de physique mathématique 3（1844） · James H. McKay，“Another proof of Cauchy’s group theorem”，American Mathematical Monthly 66（1959） · Thomas Muir，The Theory of Determinants in the Historical Order of Development 第 1 卷（1906）。

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