Álgebra

A vida de Évariste Galois

Linha do tempo 1811Nasce em 25 de outubro em Bourg-la-Reine, perto de Paris. 1823Entra no colégio Louis-le-Grand, em Paris. 1827Descobre a matemática e abandona o resto. 1828É reprovado pela primeira vez no exame da Escola Politécnica. 1829Publica o primeiro artigo. Envia trabalhos à Academia. O pai se suicida. Segunda reprovação na Politécnica. Entra na Escola Normal. 1830O trabalho enviado ao Grande Prêmio se perde com a morte de Fourier. Revolução de Julho. 1831É expulso da Escola Normal. Poisson recusa a sua memória. É preso duas vezes. 1832Morre em 31 de maio, aos 20 anos, depois de ser ferido num duelo. 1846Joseph Liouville publica as suas obras. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1811–1823 Bourg-la-ReineNasce na cidade onde o pai será prefeito. A mãe o educa em casa até os 12 anos. 1823–1829 Louis-le-GrandNo colégio, descobre a matemática aos 15 anos, “o furor da matemática o domina”. Reprovado duas vezes na Politécnica, entra em 1829 na Escola Normal, de onde é expulso em 1831. 1831 Pont NeufEm 14 de julho é preso na ponte, vestido com o uniforme da artilharia dissolvida e armado. 1831–1832 Prisão de Sainte-PélagiePassa oito meses preso. Em julho de 1831 recebe a recusa de Poisson. 1832 Hospital CochinFerido no duelo de 30 de maio, é levado ao hospital, onde morre na manhã de 31 de maio, aos 20 anos. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. A Paris de Galois, do colégio à prisão e ao hospital, em poucos quilômetros. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 15, 2026 Iniciar leitura

A vida de Niels Henrik Abel

Linha do tempo 1802Nasce em 5 de agosto, perto de Stavanger, na costa oeste da Noruega. 1804A família se muda para Gjerstad, onde o pai é pastor. 1815Entra na Escola da Catedral de Christiania, a atual Oslo. 1818Bernt Holmboe se torna o seu professor de matemática. 1820Morre o pai. Abel passa a sustentar parte da família. 1821Entra na universidade. Pensa ter resolvido a equação do quinto grau e descobre o erro. 1824Publica, à própria custa, a prova de que não há fórmula para o quinto grau. 1825Viaja a Berlim, onde conhece August Leopold Crelle. 1826Em Paris, entrega à Academia a sua grande memória sobre integrais. Cauchy a perde. 1827Volta à Noruega, sem emprego e endividado. Publica as funções elípticas. 1829Morre de tuberculose em Froland, em 6 de abril, aos 26 anos. 1830Recebe, depois de morto, o Grande Prêmio da Academia de Paris, com Jacobi. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1802 perto de StavangerNasce na costa oeste da Noruega, segundo de sete filhos de um pastor. 1804–1815 GjerstadCresce na paróquia do pai, no sul do país. 1815–1825 ChristianiaNa Escola da Catedral, o professor Holmboe descobre o seu talento. Em 1824 publica o folheto de seis páginas sobre o quinto grau. 1825–1826 BerlimConhece August Leopold Crelle, que publica sete artigos seus no primeiro volume do seu jornal. 1826 ParisEntrega à Academia a grande memória sobre integrais. Ninguém lhe dá atenção, e Cauchy perde o manuscrito. 1827–1828 ChristianiaVolta sem emprego e endividado. Publica as funções elípticas e disputa a corrida com Jacobi. 1828–1829 FrolandViaja de trenó no Natal para ver a noiva, adoece e morre de tuberculose em 6 de abril. Dois dias depois, chega a nomeação de Berlim. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. A grande viagem de Abel, da Noruega a Berlim e Paris, e a volta para morrer em Froland. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 15, 2026 Iniciar leitura

A vida de Joseph-Louis Lagrange

Linha do tempo 1736Nasce em 25 de janeiro, em Turim, capital do Reino da Sardenha, com o nome de Giuseppe Lodovico Lagrangia. 1753Aos 17 anos, lê um ensaio de Edmond Halley e decide dedicar-se à matemática. 1755Escreve a Euler o método que dará origem ao cálculo das variações. Em setembro, é nomeado professor da Escola de Artilharia de Turim, aos 19 anos. 1757Ajuda a fundar a sociedade científica que se tornará a Academia de Ciências de Turim. 1764Ganha o prêmio da Academia de Paris explicando por que a Lua mostra sempre a mesma face. 1766Muda-se para Berlim para ocupar o lugar de Euler na Academia de Frederico, o Grande. 1770Prova que todo número inteiro é soma de quatro quadrados e começa a estudar as permutações das raízes de uma equação. 1772Divide com Euler o prêmio de Paris pelo problema dos três corpos, onde aparecem os pontos de Lagrange. 1787Com a morte de Frederico, muda-se para Paris, onde passa a morar no Louvre. 1788Publica a Mecânica analítica. 1790Entra para a comissão que criará o sistema métrico. 1794Lavoisier é guilhotinado. Lagrange torna-se professor da nova Escola Politécnica. 1797Publica a Teoria das funções analíticas, com a notação $f'(x)$. 1808Napoleão o faz conde do Império. 1813Morre em 10 de abril, em Paris, e é sepultado no Panteão. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1736–1766 TurimAos 19 anos é professor da Escola de Artilharia. Escreve a Euler o método que dará origem ao cálculo das variações. 1766–1787 BerlimOcupa o lugar de Euler na Academia de Frederico, o Grande. Prova o teorema dos quatro quadrados e encontra os pontos de Lagrange. 1787–1813 ParisMora no Louvre, publica a Mecânica analítica, ajuda a criar o sistema métrico e ensina na Escola Politécnica. É sepultado no Panteão. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Lagrange em três capitais, Turim, Berlim e Paris. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

A equação do quinto grau: a fórmula que não existe

Os geômetras se ocuparam muito da solução geral das equações algébricas, e vários deles procuraram provar a sua impossibilidade. Mas, se não me engano, ninguém conseguiu até hoje. — Niels Henrik Abel, Memória sobre as equações algébricas (1824) Toda pessoa que passou pela escola conhece uma fórmula para resolver equações: a do segundo grau. A equação $ax^2+bx+c=0$ tem as raízes $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$A receita usa só as quatro operações e uma raiz quadrada. Os babilônios já sabiam resolver problemas desse tipo há quase quatro mil anos, e Euclides os resolveu com quadrados e retângulos. A pergunta natural é: existem receitas assim para as equações de grau maior?

October 15, 2026 Iniciar leitura

Embaralhar as raízes: o grupo de uma equação

Saltar de pés juntos sobre os cálculos; agrupar as operações, classificá-las segundo as suas dificuldades e não segundo as suas formas: essa é, a meu ver, a missão dos geômetras futuros. — Évariste Galois, prefácio a um manuscrito (1831) Sessenta anos antes de Galois, Lagrange tinha olhado para expressões feitas com as raízes de uma equação e contado quantos valores elas tomam quando as raízes trocam de lugar. Galois deu um passo a mais. Em vez de olhar para as expressões, olhou para as trocas. E não para todas: só para as que a equação permite.

October 15, 2026 Iniciar leitura

O cálculo das variações: a carta de um jovem de 19 anos

O cálculo de Newton e Leibniz sabe achar o ponto mais alto de uma curva: é onde a derivada se anula. Mas há perguntas de outro tipo. Qual é o caminho mais curto entre dois pontos? Qual é a forma de um escorregador em que uma bolinha desce mais depressa? Qual é a curva de um fio pendurado? Nessas perguntas, a resposta não é um número, é uma curva inteira, escolhida entre infinitas curvas possíveis.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A série binomial e as séries do diabo

As séries divergentes são uma invenção do diabo, e é uma vergonha basear nelas qualquer demonstração. — Niels Henrik Abel, carta a Holmboe (janeiro de 1826) Em 1665, o jovem Newton descobriu que a fórmula do binômio valia também para expoentes que não são inteiros: $$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{6}x^3+\cdots$$Para $m$ inteiro positivo, a soma para depois de $m+1$ termos. Para $m=\frac12$ ou $m=-1$, ela nunca para: é uma série, uma soma com infinitos termos. Newton, Euler e todos os matemáticos do século XVIII usaram essa série com enorme sucesso. Quase ninguém perguntou quando ela funciona.

October 15, 2026 Iniciar leitura

O que é um grupo: as seis simetrias do triângulo

Recorte um triângulo equilátero de papel, numere os cantos 1, 2 e 3 e coloque-o sobre o seu contorno desenhado na mesa. De quantas maneiras dá para tirar o triângulo e recolocá-lo de modo que ele cubra exatamente o mesmo contorno? São seis. Pode-se não fazer nada; girar $120°$ ou $240°$; ou virar o triângulo do avesso em torno de um dos três eixos, cada um passando por um canto e pelo meio do lado oposto.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A Mecânica analítica: um livro sem figuras

Abra os Principia de Newton, de 1687, e você verá figuras em quase toda página: triângulos, elipses, setas, tangentes. Abra a Mecânica analítica de Lagrange, publicada cem anos depois, em 1788, e não verá nenhuma. O próprio autor avisa isso no prefácio, com orgulho, e completa: Os que amam a análise verão com prazer a mecânica tornar-se um novo ramo dela, e me serão gratos por ter assim estendido o seu domínio. — Joseph-Louis Lagrange, prefácio da Mecânica analítica (1788)

October 14, 2026 Iniciar leitura

Inverter a integral: as funções elípticas

Comece por uma função conhecida, vista de um jeito estranho. A integral $$\arcsin x=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$dá o comprimento de um arco de círculo de raio 1, medido a partir do ponto mais baixo, em função da altura $x$. É uma função complicada. Mas a sua inversa, que dá a altura em função do arco, é o seno, a função mais simples da trigonometria. E o seno tem uma propriedade que a integral esconde: é periódico. Como um quarto de volta mede

October 15, 2026 Iniciar leitura

Quando uma equação se resolve por radicais

Com a ideia de grupo de uma equação, Galois respondeu à pergunta que tinha ficado aberta depois de Abel: quais equações se resolvem por radicais? A resposta não depende de nenhum truque. Depende só da forma do grupo. Cada raiz corta o grupo Resolver uma equação por radicais é ir acrescentando raízes, uma de cada vez, aos números que já se conhecem. No começo, conhecemos só os números racionais, e o grupo da equação é inteiro. Cada vez que acrescentamos uma raiz, como $\sqrt3$ ou $\sqrt[3]{5}$, aparecem novas relações verdadeiras, e menos permutações as respeitam. O grupo encolhe. Quando o grupo vira só a identidade, todas as raízes da equação estão escritas com os números conhecidos: a equação está resolvida.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Os pontos de Lagrange: onde a gravidade se equilibra

Em 25 de dezembro de 2021, um foguete partiu da Guiana Francesa levando o telescópio espacial James Webb. Ele não foi colocado em órbita da Terra, como o Hubble. Viajou um mês até um ponto vazio do espaço, a 1,5 milhão de quilômetros daqui, sempre do lado oposto ao Sol, e ficou lá. O endereço desse ponto sai de um trabalho premiado de Lagrange, de 1772. Chama-se L2. Três corpos Newton resolveu por completo o movimento de dois corpos que se atraem, como o Sol e um planeta: cada um descreve uma elipse. Com três corpos, por exemplo o Sol, a Terra e a Lua, tudo se complica. Cada corpo puxa os outros dois, e o movimento pode ficar caótico. Os matemáticos do século XVIII sabiam que não ia ser fácil, e a Academia de Paris pôs o problema várias vezes como tema de prêmio.

October 14, 2026 Iniciar leitura