Euler's Eyes
2026-10-27
行列式と置換
1812 年 11 月 30 日、シェルブールから来た若い技師が、フランス学士院で長い題の論文を読みあげた。変数をたがいに入れかえたとき、大きさが等しく符号が反対の二つの値しかとりえない関数について。この題の背後にあったのは、行列式の最初の一般理論だった。
符号を変える関数
三つの変数 $a_1, a_2, a_3$ と、差の積
$$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2)$$を考える。$a_1$ と $a_2$ を入れかえると、各因子はそのままか符号を変えるかで、全体として $\Delta$ は $-\Delta$ になる。どの二つの変数を入れかえても同じである。変数の置換は入れかえの列なので、$\Delta$ に $+1$ か $-1$ を掛ける。置換は偶か奇かのどちらかである。
コーシーはこの観察を使って、ライプニッツ、クラメール、ヴァンデルモンド、ラプラスが連立一次方程式を解くときに見つけていた式を整理した。彼は $n^2$ 個の係数を、二つの添字 $a_{i,j}$ をもつ正方形の表に並べ、各行と各列から一つずつ要素をとった積すべてに、対応する置換の符号をつけて足したものとして行列式を定義した。
$$\det\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix} = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}.$$「行列式（déterminant）」という言葉はガウスに由来する。ガウスは二次形式についてこの言葉を使っていた。今日の意味に定着させたのはコーシーである。
積
論文の主要な結果は積の定理である。$C$ が $A$ と $B$ を行と列で掛けて得られる表なら、
$$\det C = \det A \cdot \det B.$$ジャック・ビネも同じ年に同じ定理を発表しており、長方形の表に対する一般形は、今日コーシー＝ビネの公式とよばれる。数で確かめよう。
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$とすると、$\det A = 6 - 1 = 5$、$\det B = 1 - 8 = -7$ である。積は
$$AB = \begin{pmatrix} 2 + 2 & 8 + 1 \\ 1 + 6 & 4 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$$で、$\det(AB) = 28 - 63 = -35 = 5 \cdot (-7)$ となる。
三十年後の置換
1815 年の姉妹論文で、コーシーは、$n$ 変数の関数が変数の置換によっていくつの異なる値をとりうるかを研究し、ラグランジュとルフィニの仕事を引きついだ。そのあとこの主題を手放した。1844 年、パリに戻ったものの教えることのできなかった彼は、この主題に勢いよく戻り、数か月のうちに置換群の理論の基礎となる一連の論文を発表した。
巡回置換の記法が現れたのはそこである。$(1\;2\;3)$ は「1 は 2 へ、2 は 3 へ、3 は 1 へ行く」という意味だ。二つの置換を合成するときは、右のものを先に施す。$\sigma = (1\;2\;3)$、$\tau = (1\;2)$ とすると、
$$1 \xrightarrow{\tau} 2 \xrightarrow{\sigma} 3, \qquad 2 \xrightarrow{\tau} 1 \xrightarrow{\sigma} 2, \qquad 3 \xrightarrow{\tau} 3 \xrightarrow{\sigma} 1$$だから、$\sigma\tau = (1\;3)$ である。合成について閉じた置換の集まりを、コーシーは「共役な置換の系」とよんだ。これが今日群とよばれるものである。「群」という言葉は、ガロアが 1846 年になってようやく出版される原稿のなかですでに使っていた。
コーシーの定理
1845 年、コーシーは彼の名を冠する定理を証明した。素数 $p$ が有限群の元の個数を割り切るなら、その群には位数 $p$ の元がある。つまり、$x^p = e$ となる $x \ne e$ がある。
コーシーの証明は長かった。1959 年、ジェームズ・マッケイが数行におさまる証明を見つけた。群 $G$ の元の列 $(x_1, x_2, \ldots, x_p)$ で、$x_1 x_2 \cdots x_p = e$ となるものを考える。最初の $p - 1$ 個は自由に選べ、最後の一つはそれで決まる。だからこのような列は $|G|^{p-1}$ 個あり、これは $p$ の倍数である。ある列の積が $e$ なら、回転させた列 $(x_2, \ldots, x_p, x_1)$ の積も $e$ である。回転によって、列は $p$ 個の異なる列からなる組に分かれる。例外は定数列 $(x, x, \ldots, x)$ で、これは一つで組をなし、ちょうど $x^p = e$ となるものである。全体も組も $p$ の倍数だから、定数列の個数も $p$ の倍数になる。その一つは $(e, \ldots, e)$ だから、ほかに少なくとも $p - 1$ 個あり、それぞれが位数 $p$ の元を与える。
演習：S₃ におけるコーシーの定理
$\{1, 2, 3\}$ の置換群は $6 = 2 \cdot 3$ 個の元をもつ。コーシーの定理が保証する位数 2 の元と位数 3 の元を見つけよ。
六つの元は、恒等置換 $e$、三つの互換 $(1\;2)$、$(1\;3)$、$(2\;3)$、二つの巡回置換 $(1\;2\;3)$、$(1\;3\;2)$ である。互換は二回施すともとに戻るので位数 2。三文字の巡回置換は三回施すともとに戻るので位数 3。マッケイの数え方も確かめよう。$x^2 = e$ の解は $e$ と三つの互換で計四つ、2 の倍数である。$x^3 = e$ の解は $e$ と二つの巡回置換で計三つ、3 の倍数である。
演習：べき乗の行列式
積の定理を使って、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ のとき $\det(A^{10})$ を求めよ。
$\det A = 0 - 1 = -1$。積の定理により、$\det(A^{10}) = (\det A)^{10} = (-1)^{10} = 1$。ちなみに $A^{10} = \begin{pmatrix} 89 & 55 \\ 55 & 34 \end{pmatrix}$ で成分はフィボナッチ数であり、たしかに $89 \cdot 34 - 55^2 = 3026 - 3025 = 1$ となる。
出典： Augustin-Louis Cauchy、「Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires…」、Journal de l’École polytechnique（1815） · Augustin-Louis Cauchy、「Mémoire sur les arrangements que l’on peut former avec des lettres données」、Exercices d’analyse et de physique mathématique 3（1844） · James H. McKay、「Another proof of Cauchy’s group theorem」、American Mathematical Monthly 66（1959） · Thomas Muir、The Theory of Determinants in the Historical Order of Development 第 1 巻（1906）。