Em 30 de novembro de 1812, o jovem engenheiro de Cherbourg leu no Instituto de França uma memória de título comprido: sobre as funções que só podem tomar dois valores iguais e de sinais contrários quando se trocam entre si as variáveis. Por trás do título estava a primeira teoria geral dos determinantes. Funções que trocam de sinal Tome três variáveis $a_1, a_2, a_3$ e o produto das diferenças $$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).$$Se trocarmos $a_1$ com $a_2$, cada fator ou continua igual ou troca de sinal, e no total $\Delta$ vira $-\Delta$. Qualquer troca de duas variáveis faz o mesmo. Uma permutação das variáveis, que é uma sequência de trocas, multiplica $\Delta$ por $+1$ ou por $-1$: é par ou ímpar.
Os determinantes nasceram para resolver sistemas de equações lineares. Em 1750 Gabriel Cramer publicou a regra que leva o seu nome, que dá cada incógnita como uma razão de duas expressões formadas com os coeficientes. Mas faltava um jeito organizado de calcular essas expressões quando havia muitas incógnitas. Em 1772, quase ao mesmo tempo, Alexandre-Théophile Vandermonde e Laplace estudaram essas expressões como objetos por si mesmos. A palavra determinante, no sentido atual, só foi fixada por Cauchy em 1812, e as barras verticais que usamos hoje vieram de Arthur Cayley em 1841.