Trigonometria

Seno, cateto e hipotenusa: a trigonometria e seus nomes perdidos

Quase todo estudante aprende a dizer “seno”, “cosseno”, “cateto” e “hipotenusa” sem saber o que essas palavras querem dizer. São rótulos para decorar, como nomes de ruas numa cidade estranha. Mas cada um deles já foi uma descrição, e alguns guardam histórias inesperadas. O seno, por exemplo, é o resultado de uma tradução que deu errado. Pitágoras em latim O teorema mais famoso da geometria era, durante muito tempo, uma frase sobre quadrados de verdade, desenhados sobre os lados de um triângulo. Os antigos textos deste site o escreviam à maneira medieval:

October 13, 2026 Iniciar leitura

Exercícios do capítulo 15 — Triângulos quaisquer

Lei dos senos 624 Sabendo que $\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$ e $\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$, determine: a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$; b) $\cos 150^{\circ}$; c) $\cos 135^{\circ}$; d) $\operatorname{sen}150^{\circ}$; e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$; f) $\cos 120^{\circ}$. Ver respostaa) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · b) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · c) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · d) $\dfrac{1}{2}$ · e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · f) $-\dfrac{1}{2}$ 625 Determine o valor de $x$ nos casos: Ver respostaa) $6\sqrt{2}$ · b) $6\sqrt{6}$

October 12, 2026 Iniciar leitura

Cálculo de linhas notáveis

Medianas, alturas e bissetrizes podem ser calculadas só a partir dos três lados. Todas as fórmulas saem das relações métricas — e uma única relação, a de Stewart, resolve todas de uma vez. Quem descobriu A fórmula da mediana é conhecida como teorema de Apolônio: Papo de Alexandria a atribui a Apolônio de Perga (século III a.C.). A fórmula da altura usa a área do triângulo em função dos lados, a fórmula de Heron, demonstrada por Heron de Alexandria no século I, na Métrica (os árabes a atribuíam a Arquimedes). A relação que vale para qualquer segmento ligando um vértice ao lado oposto foi publicada pelo escocês Matthew Stewart em 1746, no livro Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics.

October 12, 2026 Iniciar leitura

Relações métricas e teorema dos cossenos

O teorema de Pitágoras tem um termo de correção quando o ângulo não é reto. Esse termo é a lei dos cossenos. Quem descobriu As relações métricas deste tópico estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.), em linguagem de áreas: a proposição II.12 trata do lado oposto a um ângulo obtuso e a II.13, do lado oposto a um ângulo agudo. A forma com o cosseno, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, apareceu muito depois, junto com as tabelas trigonométricas. O astrônomo persa Jamshid al-Kashi a apresentou em 1427, em A chave da aritmética; na França, a lei dos cossenos ainda se chama théorème d’Al-Kashi. François Viète a escreveu com cossenos em 1593.

October 12, 2026 Iniciar leitura

Teorema dos senos

Num triângulo qualquer, cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá sempre o mesmo número: o diâmetro da circunferência circunscrita. Quem descobriu A lei dos senos nasceu na astronomia, para triângulos desenhados na esfera celeste. A versão esférica foi obtida no século X por astrônomos do mundo islâmico — entre eles Abu al-Wafa e Abu Nasr Mansur. A forma para triângulos planos aparece de modo sistemático no Tratado do quadrilátero (1260) do persa Nasir al-Din al-Tusi, que fez da trigonometria uma disciplina independente da astronomia. Na Europa, ela se espalhou com o livro Sobre triângulos de todos os tipos, de Regiomontanus, escrito em 1464 e impresso em 1533.

October 12, 2026 Iniciar leitura

Exercícios do capítulo 14 — Triângulos retângulos

Relações métricas 506 Determine o valor de $x$ nos casos: Ver respostaa) 5 · b) 12 · c) $\sqrt{7}$ · d) $3\sqrt{3}$ 507 Determine $x$ em função de $a$ nos casos: Ver respostaa) $a\sqrt{3}$ · b) $\dfrac{a}{2}$ 508 Determine $x$ nos casos: Ver respostaa) 12 · b) 24 · c) 20 · d) 8

October 12, 2026 Iniciar leitura

Aplicações do teorema de Pitágoras

A diagonal do quadrado, a altura do triângulo equilátero e as razões trigonométricas de 30°, 45° e 60° saem todas do mesmo teorema. Quem descobriu A diagonal do quadrado já foi calculada pelos babilônios: a tábua YBC 7289 (c. 1800–1600 a.C.) dá $\sqrt{2}$ com seis casas decimais corretas. As razões entre os lados de um triângulo retângulo começaram como tabelas astronômicas: Hiparco de Niceia (século II a.C.) montou uma tabela de cordas, o indiano Aryabhata (499) passou a usar a meia-corda — o nosso seno — e astrônomos islâmicos como Abu al-Wafa (século X) organizaram tabelas de sombras, as nossas tangentes. A fórmula que gera todos os triângulos pitagóricos, com lados $x^2 - y^2$, $2xy$ e $x^2 + y^2$, aparece num lema do livro X dos Elementos de Euclides.

October 12, 2026 Iniciar leitura

Relações métricas

O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Mas essa é só uma de várias relações que a altura revela dentro do triângulo retângulo. Quem descobriu A relação entre os lados do triângulo retângulo é muito mais antiga que Pitágoras de Samos (século VI a.C.). Tábuas da Babilônia de cerca de 1800 a.C. usam ternos como 3, 4, 5 e calculam a diagonal do quadrado; os Sulba Sutras da Índia (c. 800–500 a.C.) enunciam a regra para construir altares; e o texto chinês Zhoubi Suanjing traz uma prova visual. A tradição grega associou o teorema a Pitágoras, mas não há prova documental de que ele o tenha demonstrado. A demonstração mais antiga que chegou até nós está nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição I.47 prova o teorema por áreas, e a I.48 prova a recíproca. As relações com a altura — cada cateto e a altura como médias proporcionais — estão na proposição VI.8 e no seu corolário.

October 12, 2026 Iniciar leitura

ENEM 2025 – Matemática resolvida: questões 151 a 165

Fonte: INEP – prova e gabarito do 2º dia, Caderno 5 – Amarelo. A prova de Matemática e suas Tecnologias do ENEM 2025 foi aplicada no 2º dia e vai da questão 136 à 180. Este post traz as questões 151 a 165. A numeração usada aqui é a do Caderno 5 – Amarelo; nos outros cadernos as mesmas questões aparecem em outra ordem. Gabarito Questão Assunto Gabarito 151 Poliedros: número de vértices B 152 Proporcionalidade: produção D 153 Código numérico (leitura de regras) D 154 Probabilidade: permutações D 155 Leitura de gráficos: barras e setores B 156 Trigonometria: lei dos cossenos e rumos A 157 Estatística: média e desvio padrão D 158 Média (ritmo de corrida) E 159 Função tangente: período e deslocamento E 160 Localização em malha (orientação) A 161 Porcentagem e inequação do 1º grau B 162 Análise combinatória: princípio multiplicativo B 163 Escala E 164 Razão C 165 Porcentagem: custo e lucro C Questão 151: Vértices da cúpula pentagonal giralongada Enunciado A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma.

September 26, 2026 Iniciar leitura

FUVEST 2025 – 2ª fase: Matemática resolvida

Fonte: FUVEST – prova da 2ª fase, 2º dia (questões M01 a M06), disponível no acervo da FUVEST 2025. A 2ª fase da FUVEST 2025 teve, no 2º dia, questões discursivas específicas por carreira; a prova de Matemática tem seis questões, M01 a M06. Cada candidato resolveu só as disciplinas da sua carreira (as seis questões, ou apenas as quatro ou três primeiras). A 2ª fase não tem gabarito de múltipla escolha: a FUVEST publicou um Guia de Respostas com as respostas esperadas pela banca. As resoluções abaixo são nossas, e cada resultado foi conferido com esse guia e por um segundo caminho.

September 26, 2026 Iniciar leitura

FUVEST 2026 – 1ª fase: Matemática resolvida

Fonte: FUVEST – prova V1 e gabarito da Prova de Conhecimentos Gerais (1ª fase), aplicada em 23/11/2025. Arquivos no acervo da FUVEST 2026. A 1ª fase da FUVEST 2026 teve 90 questões de múltipla escolha de todas as disciplinas. Este post traz as questões de matemática. A numeração usada aqui é a da Prova V1; nas versões V2, V3 e V4 as mesmas questões aparecem em outra ordem (o gabarito oficial traz a tabela de correspondência).

September 26, 2026 Iniciar leitura