Antes de calcular, pergunte: o que foi dado? Dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados, pedem a lei dos cossenos; um lado e o ângulo oposto, a lei dos senos. Neste capítulo o gabarito impresso tem vários erros; quando a resposta daqui diverge dele, a diferença está explicada. Lei dos cossenos 360 Dois lados de um triângulo medem 8 m e 12 m e formam entre si um ângulo de $120^\circ$. Calcule o terceiro lado. Ver a resoluçãoChamando de $b = 8$ e $c = 12$ os lados dados e de $\hat{A} = 120^\circ$ o ângulo entre eles, a lei dos cossenos dá $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A} = 64 + 144 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 64 + 144 + 96 = 304,$$então $a = \sqrt{304} = 4\sqrt{19}$ m.
Resolver um triângulo qualquer significa calcular os seus elementos principais: $a$, $b$, $c$, $\hat{A}$, $\hat{B}$ e $\hat{C}$. Para isso é necessário que sejam dadas três informações sobre o triângulo, sendo pelo menos uma delas a medida de um segmento ligado a ele (lado, altura, mediana etc.). A história O primeiro tratado europeu dedicado inteiramente a resolver triângulos, planos e esféricos, foi o De triangulis omnimodis (“Sobre triângulos de todos os tipos”), escrito por volta de 1464 pelo astrônomo alemão Regiomontanus e publicado só em 1533. Ele organizou os casos de resolução de modo muito parecido com o que faremos aqui, e o livro foi a porta de entrada da trigonometria na Europa do Renascimento.
Vamos deduzir fórmulas que permitem calcular os segmentos notáveis de um triângulo — alturas, medianas, bissetrizes internas, raios das circunferências inscrita e circunscrita — conhecendo apenas as medidas dos lados. Em todas aparece o semiperímetro $p = \frac{a + b + c}{2}$. A história A fórmula da área pelos três lados leva o nome de Heron de Alexandria (século I), que a demonstrou na Métrica, um manual de medições práticas. O matemático persa al-Biruni, porém, atribuiu-a a Arquimedes, dois séculos e meio antes. A demonstração de Heron é puramente geométrica, com a circunferência inscrita; a que faremos aqui é algébrica, partindo da lei dos cossenos.
Quatro teoremas completam as propriedades trigonométricas dos triângulos: um decompõe cada lado nas projeções dos outros dois, dois dão a área e o último, a lei das tangentes, relaciona somas e diferenças de lados com somas e diferenças de ângulos. A história A lei das tangentes foi publicada pelo dinamarquês Thomas Fincke em 1583, no mesmo livro em que ele deu nome à tangente (veja o capítulo VIII), e François Viète também a usava na mesma época. Ela se tornou muito prática na era das tábuas de logaritmos: como só envolve quocientes e produtos, permite resolver um triângulo conhecendo dois lados e o ângulo entre eles sem somar quadrados, o que a lei dos cossenos exigiria. Com logaritmos, cada multiplicação ou divisão virava uma soma ou subtração de números tirados da tábua.
As duas leis deste tópico são as ferramentas principais para trabalhar com triângulos que não são retângulos. Ambas se demonstram reduzindo o problema a triângulos retângulos: traçando uma altura, na primeira, e um diâmetro, na segunda. A história Na forma geométrica, a lei dos cossenos já está nos Elementos de Euclides (livro II, proposições 12 e 13), que comparam o quadrado do lado oposto a um ângulo obtuso ou agudo com a soma dos quadrados dos outros dois — sem falar de cosseno, claro. Na forma trigonométrica, ela aparece no Miftah al-hisab (“A chave da aritmética”, 1427) do astrônomo persa Jamshid al-Kashi, e por isso os franceses a chamam de teorema de Al-Kashi. A lei dos senos para triângulos planos foi enunciada e demonstrada no século XIII por Nasir al-Din al-Tusi, no seu Tratado sobre o quadrilátero, a primeira obra a tratar a trigonometria como disciplina independente da astronomia (veja o capítulo III).