Euler's Eyes
2026-10-24
解任意三角形
求解任何三角形都意味着计算其主要元素：$a$、$b$、$c$、$\hat{A}$、$\hat{B}$和$\hat{C}$。为此，需要提供有关三角形的三个信息，其中至少一个是与其链接的线段的测量值（边长、高度、中位数等）。
故事
第一篇完全致力于求解平面和球面三角形的欧洲论文是 De triangulisomnimodis（“关于所有类型的三角形”），由德国天文学家 Regiomontanus 于 1464 左右撰写，仅于 1533 出版。他以与我们在这里将要做的非常相似的方式组织解决案例，这本书是文艺复兴时期欧洲三角学的门户。
- Nasce Johannes Müller, que latinizará o nome da cidade (“monte do rei”) em Regiomontanus.
- Entra na universidade aos 11 anos.
- Aluno e colaborador de Georg Peurbach. Com a morte do mestre, assume a tarefa de resumir o Almagesto.
- Na casa do cardeal Bessarion, lê manuscritos gregos e escreve o De triangulis omnimodis (c. 1464).
- Trabalha na corte do rei Matias Corvino, da Hungria, e calcula tábuas trigonométricas.
- Monta uma gráfica para livros científicos e imprime as Efemérides, que Colombo levaria nas suas viagens.
- Chamado pelo papa para ajudar na reforma do calendário, morre na cidade, aos 40 anos.
在日常生活中
- 河流的另一边。 测量员测量一侧岸上 100 米的底座以及另一岸与一棵树的角度；用一条边和两个角，解三角形并求出河流的宽度。
- 风和飞机。 飞机相对于地面的速度是由空气速度和风速形成的三角形的第三条边；余弦定律给出了值，正弦定律给出了路线的偏差。
- 数据不够。 模棱两可的案例解释了为什么在事故调查和导航中，两条边和一个不被理解的角度可以对应两种不同的情况，需要更多的信息。
理论
解决任何三角形都有四个经典问题。
Exemplo第一个问题 - 给定一条边 (a) 和两个角（B 和 C）
$$\hat{A} = 180^\circ - (\hat{B} + \hat{C})$$$$b = \frac{a\operatorname{sen}\hat{B}}{\operatorname{sen}\hat{A}}$$$$c = \frac{a\operatorname{sen}\hat{C}}{\operatorname{sen}\hat{A}}$$当且仅当 $\hat{B} + \hat{C} < 180^\circ$ 时，才有解。
Exemplo第二个问题 — 给定两条边（b 和 c）以及它们之间的角度（A）
$$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}}$$$$\cos\hat{B} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$$$\cos\hat{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$解始终存在并且是唯一的。
Exemplo第三个问题——给定三个边（a，b，c）
$$\cos\hat{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$$$\cos\hat{B} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$$$\cos\hat{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$只有当这些余弦在区间内时，问题才有解 $]-1, 1[$，也就是说，如果值得 三角不等式: $a < b + c$, $b < a + c$ 和 $c < a + b$.
Exemplo第四个问题 — 给定两条边（a 和 b）以及其中一条边相对的角（A）
$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b\operatorname{sen}\hat{A}}{a}$$$$\hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B})$$$$c = \frac{a\operatorname{sen}\hat{C}}{\operatorname{sen}\hat{A}}$$这是不明确的情况：可能没有解决方案，也可能只有一个或两个解决方案。接下来是讨论。
第四个问题的讨论
**第一种情况：$b\operatorname{sen}\hat{A} > a$。**然后$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b\operatorname{sen}\hat{A}}{a} > 1$：无解（半径为$a$的圆没有到达直线）。
**第二种情况：$b\operatorname{sen}\hat{A} = a$。**然后是$\operatorname{sen}\hat{B} = 1$和$\hat{B} = 90^\circ$。仅当 $\hat{A} < 90^\circ$ 时，才有解（唯一，直角三角形）；否则$\hat{A} + \hat{B} \ge 180^\circ$。
**第三种情况：$b\operatorname{sen}\hat{A} < a$。**那么$\operatorname{sen}\hat{B} < 1$，有两个补角满足关系：$\hat{B}_1$与$0^\circ < \hat{B}_1 < 90^\circ$，$\hat{B}_2 = 180^\circ - \hat{B}_1$与$90^\circ < \hat{B}_2 < 180^\circ$。哪一种有效取决于 $\hat{A}$：
- **$\hat{A} = 90^\circ$：**只有$\hat{B}_1$是解决方案，因为$\hat{A} + \hat{B}_2 > 180^\circ$（并且需要$a > b$）。
- $\hat{A} < 90^\circ$： $\hat{B}_1$ 始终是解，但 $\hat{B}_2$ 仅是 $a < b$ 的解，因为 $\hat{B}_2 > \hat{A} \iff b > a$（最大角度与最大边相对）。因此，如果 $b\operatorname{sen}\hat{A} < a < b$，则有两个三角形；如果 $a \ge b$，则只有一个。
- $\hat{A} > 90^\circ$: $\hat{B}_2$ 不是一个解决方案，因为 $\hat{A} + \hat{B}_2 > 180^\circ$;对于$\hat{B}_1$，它只是$a > b$的解，因为$\hat{B}_1 < \hat{A} \iff b < a$。
Resumo歧义案例汇总表
| $a < b\operatorname{sen}\hat{A}$ | $a = b\operatorname{sen}\hat{A}$ | $b\operatorname{sen}\hat{A} < a < b$ | $a \ge b$ | |
|---|---|---|---|---|
| $\hat{A}$ 高 | 没有任何 | 一个（矩形） | 两个 | 一 |
| $\hat{A}$ 直或钝角 | 没有任何 | 没有任何 | 没有任何 | 一（如果 $a > b$） |
Exemplo两种解决方案
数据 $a = 1$、$b = \sqrt{3} + 1$ 和 $\hat{A} = 15^\circ$（练习 378）：$b\operatorname{sen}\hat{A} = (\sqrt{3} + 1)\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 = a < b$。有两个三角形：$\hat{B} = 45^\circ$、$\hat{C} = 120^\circ$ 或 $\hat{B} = 135^\circ$、$\hat{C} = 30^\circ$。
本节中的练习是[章节列表]中的编号411到419（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap10-triangulos-quaisquer/05-exercicios/).