Euler's Eyes
2026-10-24
三角形を解く
三角形を解くということは、その主要素である $a$、$b$、$c$、$\hat{A}$、$\hat{B}$、$\hat{C}$ を計算することを意味します。これを行うには、 三角形に関する3 つの情報を提供する必要があり、そのうちの少なくとも 1 つは、三角形にリンクされている線分の寸法 (辺、高さ、中央値など) です。
歴史
平面と球面の両方の三角形を解くことに専念した最初のヨーロッパの論文はDe triangulisomnimodis (「あらゆる種類の三角形について」) で、ドイツの天文学者レギオモンタヌスによって 1464 頃に書かれ、1533 にのみ出版されました。彼は、ここで行うことと非常によく似た方法で解決事例を整理し、この本はルネサンス ヨーロッパにおける三角法の入り口となりました。
- Nasce Johannes Müller, que latinizará o nome da cidade (“monte do rei”) em Regiomontanus.
- Entra na universidade aos 11 anos.
- Aluno e colaborador de Georg Peurbach. Com a morte do mestre, assume a tarefa de resumir o Almagesto.
- Na casa do cardeal Bessarion, lê manuscritos gregos e escreve o De triangulis omnimodis (c. 1464).
- Trabalha na corte do rei Matias Corvino, da Hungria, e calcula tábuas trigonométricas.
- Monta uma gráfica para livros científicos e imprime as Efemérides, que Colombo levaria nas suas viagens.
- Chamado pelo papa para ajudar na reforma do calendário, morre na cidade, aos 40 anos.
日常生活での応用
- 川の反対側。 測量士は一方の岸の底辺を 100 m と、もう一方の岸の木に対する角度を測定します。 1 つの辺と 2 つの角を使って三角形を解き、川の幅を求めます。
- 風と飛行機。 地面に対する飛行機の速度は、対気速度と風速で形成される三角形の 3 番目の辺です。コサインの法則は値を与え、サインの法則はルートの偏差を与えます。
- 十分ではないデータ このあいまいな事例は、事故調査や航行において、理解されていない 2 つの側面と角度が 2 つの異なる状況に対応する可能性があり、より多くの情報が必要である理由を説明しています。
理論
三角形を解くための古典的な問題が 4 つあります。
例1 番目の問題 — 1 つの辺 (a) と 2 つの角度 (B および C) が与えられた場合
$$\hat{A} = 180^\circ - (\hat{B} + \hat{C})$$$$b = \frac{a\operatorname{sen}\hat{B}}{\operatorname{sen}\hat{A}}$$$$c = \frac{a\operatorname{sen}\hat{C}}{\operatorname{sen}\hat{A}}$$$\hat{B} + \hat{C} < 180^\circ$ の場合にのみ、解決策があります。
例2 番目の問題 — 与えられた 2 つの辺 (b と c) とそれらの間の角度 (A)
$$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}}$$$$\cos\hat{B} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$$$\cos\hat{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$解決策は常に存在し、唯一のものです。
例3 番目の問題 — 3 つの辺 (a、b、c) が与えられた場合
$$\cos\hat{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$$$\cos\hat{B} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$$$\cos\hat{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$この問題は、これらの余弦が $]-1, 1[$ 区間内にある場合、 つまり三角不等式が成り立つ場合にのみ、$a < b + c$、$b < a + c$、$c < a + b$ という解が得られます。
例4 番目の問題 — 2 つの辺 (a と b) とその一方の反対側の角度 (A) が与えられた場合
$$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b\operatorname{sen}\hat{A}}{a}$$$$\hat{C} = 180^\circ - (\hat{A} + \hat{B})$$$$c = \frac{a\operatorname{sen}\hat{C}}{\operatorname{sen}\hat{A}}$$これは曖昧なケースであり、解決策が存在しない場合もあれば、解決策が 1 つまたは 2 つ存在する可能性もあります。議論は次に続きます。
4番目の問題についての議論
1 番目のケース: $b\operatorname{sen}\hat{A} > a$ 次に、$\operatorname{sen}\hat{B} = \frac{b\operatorname{sen}\hat{A}}{a} > 1$:解がありません (半径 $a$ の円は直線に到達しません)。
2 番目のケース: $b\operatorname{sen}\hat{A} = a$。 次に、$\operatorname{sen}\hat{B} = 1$ と $\hat{B} = 90^\circ$。 $\hat{A} < 90^\circ$ の場合にのみ、解決策 (固有の直角三角形) があります。それ以外の場合は $\hat{A} + \hat{B} \ge 180^\circ$。
3 番目のケース: $b\operatorname{sen}\hat{A} < a$ 次に、$\operatorname{sen}\hat{B} < 1$ と、$0^\circ < \hat{B}_1 < 90^\circ$ との $\hat{B}_1$、および $90^\circ < \hat{B}_2 < 180^\circ$ との $\hat{B}_2 = 180^\circ - \hat{B}_1$ という関係を満たす 2 つの補角があります。どちらが機能するかは $\hat{A}$ によって異なります。
- $\hat{A} = 90^\circ$: $\hat{A} + \hat{B}_2 > 180^\circ$ (および $a > b$ が必要) であるため、$\hat{B}_1$ のみが解決策となります。
- $\hat{A} < 90^\circ$: $\hat{B}_1$ は常に解ですが、$\hat{B}_2$ は $\hat{B}_2 > \hat{A} \iff b > a$ (最大の角度が最大の辺と対向する) なので、$a < b$ の場合のみ解になります。したがって、$b\operatorname{sen}\hat{A} < a < b$ の場合は三角形が 2 つあります。 $a \ge b$ の場合は 1 つだけ。
- $\hat{A} > 90^\circ$: $\hat{A} + \hat{B}_2 > 180^\circ$ のため、$\hat{B}_2$ は解決策ではありません。 $\hat{B}_1$に関しては$\hat{B}_1 < \hat{A} \iff b < a$なので$a > b$の場合のみ解決となります。
まとめ曖昧なケースの概要表
| $a < b\operatorname{sen}\hat{A}$ | $a = b\operatorname{sen}\hat{A}$ | $b\operatorname{sen}\hat{A} < a < b$ | $a \ge b$ | |
|---|---|---|---|---|
| $\hat{A}$高い | なし | (長方形) | 2 つ | 1つ |
| $\hat{A}$ 直線または鈍角 | なし | なし | なし | 1 つ ($a > b$ の場合) |
例2 つのソリューション
データ $a = 1$、$b = \sqrt{3} + 1$、および $\hat{A} = 15^\circ$ (演習 378): $b\operatorname{sen}\hat{A} = (\sqrt{3} + 1)\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1 = a < b$。三角形は 2 つあります: $\hat{B} = 45^\circ$、$\hat{C} = 120^\circ$、または $\hat{B} = 135^\circ$、$\hat{C} = 30^\circ$。
このセクションの演習は、章リスト.