Euler's Eyes
2026-10-22
基本关系
本主题中的所有关系都来自两个平面几何工具：勾股定理和三角形相似性。下图显示了我们将使用的三个三角形。
故事
在天文学大成中，托勒密已经使用了$\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$的等价物：如果他知道弓的弦，他就可以通过毕达哥拉斯定理在半圆内接的三角形中获得额外的弓弦。正切和割线的关系出现在 Abu al-Wafa（10 世纪）和 Nasir al-Din al-Tusi（13 世纪）的著作中，他们的四边形论文使三角学成为一门独立于天文学的学科。
- Nasce em Tus, no Coração. O pai, jurista, o incentiva a estudar todas as ciências.
- Estuda filosofia, medicina e matemática numa das grandes cidades de saber do Irã, pouco antes da chegada dos mongóis.
- Vive nas fortalezas ismaelitas das montanhas, como Alamut, onde escreve boa parte da obra.
- Acompanha Hulagu, neto de Gengis Khan, na conquista de Bagdá.
- Dirige o grande observatório financiado por Hulagu, com biblioteca e astrônomos vindos de longe. Ali escreve o Tratado sobre o quadrilátero.
- Morre em Bagdá.
来源： Al-Tusi (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor)。
在日常生活中
- **屏幕。**电视的尺寸是对角线。在屏幕 16:9 的 50 英寸、$\operatorname{tg}\theta = \frac{9}{16}$ 上，宽度和高度分别为 $50\cos\theta \approx 43{,}6$ 和 $50\operatorname{sen}\theta \approx 24{,}5$ 英寸。
- **电能。**在工业装置中，有功功率为$P = S\cos\varphi$，无功功率为$Q = S\operatorname{sen}\varphi$；基本关系保证$S^2 = P^2 + Q^2$。公司电费单上显示的“功率因数”是$\cos\varphi$。
- 计算机上的方向。 程序通过对 $(\cos\theta, \operatorname{sen}\theta)$ 表示方向；关系 $\cos^2\theta + \operatorname{sen}^2\theta = 1$ 保证该向量的长度为 1。
理论
基本关系
Teorema基本关系
对于每个实数 $x$，
$$\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1.$$查看演示
a) 如果是$x \ne \dfrac{k\pi}{2}$，则$x$的图像$P$与$A$、$B$、$A'$和$B'$不同；然后是三角形 $OP_2P$、$P_2$ 中的矩形、$|\overline{OP_2}| = |\cos x|$、$|\overline{P_2P}| = |\operatorname{sen} x|$ 和斜边 $|\overline{OP}| = 1$。根据毕达哥拉斯定理，
$$|\overline{OP_2}|^2 + |\overline{P_2P}|^2 = |\overline{OP}|^2 \quad\Longrightarrow\quad \cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x = 1.$$b) 如果 $x = \dfrac{k\pi}{2}$，我们直接检查：
| $x$ | $\operatorname{sen} x$ | $\cos x$ | $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $\pi$ | $0$ | $-1$ | $1$ |
| $\frac{3\pi}{2}$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
正切和余切
Teorema切线
对于所有实数 $x$, $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$,
$$\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}.$$查看演示
a) 如果 $x \ne k\pi$，$x$ 的图像与 $A$、$B$、$A'$ 和 $B'$ 不同，并且三角形 $OAT$ 和 $OP_2P$ 相似（都是矩形，$O$ 的角度在顶点处相同或相反）。标识
$$\frac{|\overline{AT}|}{|\overline{OA}|} = \frac{|\overline{P_2P}|}{|\overline{OP_2}|} \quad\Longrightarrow\quad |\operatorname{tg} x| = \frac{|\operatorname{sen} x|}{|\cos x|}. \qquad (1)$$根据符号表，$\operatorname{tg} x$的符号等于商$\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$（2）的符号：
| 象限 | $\operatorname{tg} x$ 标志 | $\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$ 标志 |
|---|---|---|
| 1º | $+$ | $+$ |
| 2º | $-$ | $-$ |
| 3º | $+$ | $+$ |
| 4º | $-$ | $-$ |
从 (1) 和 (2) 得出论文。
b) 如果 $x = k\pi$，我们有 $\operatorname{tg} x = 0 = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$。
Teorema余切
对于所有实数 $x$, $x \ne k\pi$,
$$\operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}.$$查看演示
a) 如果 $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，则 $x$ 的图像与 $A$、$B$、$A'$ 和 $B'$ 不同，并且三角形 $OBD$ 和 $OP_1P$ 相似：
$$\frac{|\overline{BD}|}{|\overline{OB}|} = \frac{|\overline{P_1P}|}{|\overline{OP_1}|} \quad\Longrightarrow\quad |\operatorname{cotg} x| = \frac{|\cos x|}{|\operatorname{sen} x|}. \qquad (1)$$$\operatorname{cotg} x$ 的符号与所有象限中的 $\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}$ 的符号相同（$+$、$-$、$+$、$-$）（2）。从 (1) 和 (2) 得出论文。
b) 如果 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，我们有 $\operatorname{cotg} x = 0 = \dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}$。
正割和余割
Teorema烘干
对于所有实数 $x$, $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$,
$$\sec x = \frac{1}{\cos x}.$$查看演示
a) 如果 $x \ne k\pi$，则三角形 $OPS$（$P$ 中的矩形）和 $OP_2P$（$P_2$ 中的矩形）相似，因为它们具有 $O$ 中的共同角度：
$$\frac{|\overline{OS}|}{|\overline{OP}|} = \frac{|\overline{OP}|}{|\overline{OP_2}|} \quad\Longrightarrow\quad |\sec x| = \frac{1}{|\cos x|}. \qquad (1)$$$\sec x$ 的符号与 $\cos x$ 的符号相同（第一和第四象限为 $+$，第二和第三象限为 $-$）（2）。从 (1) 和 (2) 得出论文。
b) 如果 $x = k\pi$，我们有 $\sec x = 1 = \cos x$（$k$ 偶数）或 $\sec x = -1 = \cos x$（$k$ 奇数），并且在这两种情况下都是 $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$。
Teorema余割
对于所有实数 $x$, $x \ne k\pi$,
$$\operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x}.$$查看演示
a) 如果 $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，则三角形 $OPC$ 和 $OP_1P$ 相似：
$$\frac{|\overline{OC}|}{|\overline{OP}|} = \frac{|\overline{OP}|}{|\overline{OP_1}|} \quad\Longrightarrow\quad |\operatorname{cossec} x| = \frac{1}{|\operatorname{sen} x|}. \qquad (1)$$$\operatorname{cossec} x$ 的符号与 $\operatorname{sen} x$ 的符号相同（第一和第二象限为 $+$，第三和第四象限为 $-$）（2）。从 (1) 和 (2) 得出论文。
b) 如果 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$：$\operatorname{cossec} x = 1 = \dfrac{1}{\operatorname{sen} x}$（$k$ 偶数）或 $\operatorname{cossec} x = -1 = \dfrac{1}{\operatorname{sen} x}$（$k$ 奇数）。
结果
Corolário派生关系
对于每个实数 $x$、$x \ne \dfrac{k\pi}{2}$，以下内容均有效：
$$\operatorname{cotg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} \qquad \operatorname{tg}^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad 1 + \operatorname{cotg}^2 x = \operatorname{cossec}^2 x$$$$\cos^2 x = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 x} \qquad \operatorname{sen}^2 x = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x}$$查看演示
Exemplo一切从一开始
已知 $\operatorname{sen} x = \dfrac{4}{5}$ 和 $x$ 在第二象限，余弦为负：
$$\cos x = -\sqrt{1 - \tfrac{16}{25}} = -\tfrac{3}{5}, \quad \operatorname{tg} x = -\tfrac{4}{3}, \quad \operatorname{cotg} x = -\tfrac{3}{4}, \quad \sec x = -\tfrac{5}{3}, \quad \operatorname{cossec} x = \tfrac{5}{4}.$$基本关系给出模块； 象限给出信号。这是[章节列表]中的练习73(/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap03-relacoes-fundamentais/03-exercicios/).
更进一步：定向余弦
基本关系在空间中有一个版本。长度为 $|\vec u| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ 的矢量 $\vec u = (x, y, z)$ 与轴 $x$、$y$ 和 $z$ 形成角度 $\alpha$、$\beta$ 和 $\gamma$。将 $\vec u$ 投影到每个轴上，就像我们将循环点投影到余弦轴和正弦轴上一样，
$$\cos\alpha = \frac{x}{|\vec u|}, \qquad \cos\beta = \frac{y}{|\vec u|}, \qquad \cos\gamma = \frac{z}{|\vec u|},$$并添加正方形：
$$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2} = 1.$$在平面 ($z = 0$、$\gamma = 90^\circ$) 中，与轴的角度互补，为 $\beta = 90^\circ - \alpha$，并且相等变为 $\cos^2\alpha + \operatorname{sen}^2\alpha = 1$。例如，对于 $\vec u = (1, 2, 2)$，使用 $|\vec u| = 3$：$\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = 1$。