Nos exercícios de cálculo, a relação fundamental dá o módulo e o quadrante dá o sinal. Nas identidades, indique qual dos três métodos você usou. Cálculo das funções a partir de uma delas 73 Sabendo que $\operatorname{sen} x = \dfrac{4}{5}$ e $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi$, calcule as demais funções circulares de $x$. Ver a resoluçãoComo $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi \Rightarrow \cos x < 0$, temos: $$\cos x = -\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$$$\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \qquad \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$$$$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = -\frac{5}{3} \qquad \operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}.$$ 74 Sabendo que $\operatorname{cossec} x = -\dfrac{25}{24}$ e $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$, calcule as demais funções circulares de $x$. Ver resposta$\operatorname{sen} x = -\dfrac{24}{25}$, $\cos x = -\dfrac{7}{25}$, $\operatorname{tg} x = \dfrac{24}{7}$, $\operatorname{cotg} x = \dfrac{7}{24}$, $\sec x = -\dfrac{25}{7}$
Todas as relações deste tópico saem de duas ferramentas da geometria plana: o teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos. A figura abaixo mostra os três triângulos que usaremos. Arraste $P$ e escolha a relação. O painel confere numericamente cada igualdade. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. A história No Almagesto, Ptolomeu já usava o equivalente de $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$: se conhecia a corda de um arco, obtinha a corda do arco suplementar pelo teorema de Pitágoras no triângulo inscrito na semicircunferência. As relações com tangente e secante aparecem nos trabalhos de Abu al-Wafa (século X) e de Nasir al-Din al-Tusi (século XIII), cujo Tratado sobre o quadrilátero tornou a trigonometria uma disciplina independente da astronomia.