Probabilidade

A vida de James Bernoulli

Linha do tempo 1655Nasce em 6 de janeiro, em Basileia, numa família de comerciantes de especiarias. 1671Obtém o grau de mestre em filosofia. Continua os estudos de teologia, por vontade do pai. 1676Termina a teologia e parte em viagem. Em Genebra, ensina matemática a uma menina cega. 1681Visita a Inglaterra, onde conhece Robert Boyle e Robert Hooke. Escreve sobre o grande cometa de 1680. 1683De volta a Basileia, dá aulas de física experimental e estuda o problema dos juros compostos. 1684Casa-se com Judith Stupanus. Começa a ler os artigos de Leibniz sobre o cálculo. 1687Torna-se professor de matemática da Universidade de Basileia, cargo que ocupa até morrer. 1689Publica a primeira das suas dissertações sobre séries infinitas, com a série harmônica. 1690Resolve o problema da isócrona e usa, pela primeira vez, a palavra integral. 1694Descreve a lemniscata. 1697Rompe publicamente com o irmão Johann, a propósito da braquistócrona. 1705Morre em 16 de agosto, em Basileia. Deixa inacabada a Ars conjectandi. 1713A Ars conjectandi é publicada pelo sobrinho Nicolaus. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1655–1676 BasileiaNasce numa família de comerciantes de especiarias. Por vontade do pai, estuda teologia; por conta própria, matemática. 1676 GenebraÉ preceptor de Elisabeth von Waldkirch, uma menina cega, a quem ensina a ler, a escrever e um pouco de matemática. 1677–1680 FrançaEstuda a filosofia de Descartes e de Malebranche. 1681 HolandaConhece os cientistas da nova filosofia experimental. 1681 InglaterraConhece Robert Boyle e Robert Hooke e escreve sobre o grande cometa de 1680. 1683–1705 BasileiaVolta para casa, aprende sozinho o cálculo de Leibniz e é professor da universidade até morrer, em 1705. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Os anos de viagem de Jakob Bernoulli, de Basileia à Inglaterra e de volta. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

A vida de Blaise Pascal

Linha do tempo 1623Nasce em 19 de junho, em Clermont, na região de Auvergne, na França. 1626Morre a mãe, Antoinette Begon. Blaise tem 3 anos. 1631O pai, Étienne Pascal, muda-se com os três filhos para Paris. 1635Aos 12 anos, redescobre sozinho que os ângulos de um triângulo somam dois ângulos retos. 1640Aos 16, publica o Ensaio sobre as cônicas, com o teorema do hexágono. 1642Começa a construir a máquina de calcular para ajudar o pai, coletor de impostos em Rouen. 1647Publica as Novas experiências sobre o vazio. Recebe a visita de Descartes. 1648Florin Périer, seu cunhado, mede o peso do ar subindo o Puy de Dôme. 1654Troca cartas com Fermat sobre jogos de azar e escreve o Tratado do triângulo aritmético. Em 23 de novembro, tem a “noite de fogo”. 1656Começa a publicar as Cartas provinciais, sob pseudônimo. 1658Resolve os problemas da cicloide e lança um concurso sobre eles. 1662Inaugura em Paris uma linha de carruagens públicas. Morre em 19 de agosto, aos 39 anos. 1670Os amigos publicam os Pensamentos, organizados a partir das suas anotações. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1623–1631 ClermontNasce em Clermont, na Auvergne. A mãe morre quando ele tem 3 anos. 1631–1639 ParisO pai o educa em casa e o leva às reuniões de Mersenne. Aos 16 anos escreve o Ensaio sobre as cônicas. 1640–1647 RouenO pai é coletor de impostos na Normandia. Para ajudá-lo, Blaise constrói a pascalina e faz as experiências com o vazio. 1648 Puy de DômeA pedido de Pascal, o cunhado Florin Périer sobe a montanha com um barômetro e mostra que o ar pesa menos lá em cima. 1647–1662 ParisAs cartas a Fermat sobre os jogos de azar, a noite de fogo, as Provinciais, a cicloide e as carruagens públicas. Morre em 1662, aos 39 anos. 1655 Port-Royal-des-ChampsDepois da noite de fogo, passa temporadas no mosteiro onde vive a irmã Jacqueline e defende Port-Royal contra os jesuítas. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Pascal entre Clermont, Paris e Rouen, e a montanha que pesou o ar. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 11, 2026 Iniciar leitura

Os juros que nunca acabam e o número e

Imagine um banco generoso que paga 100% de juros ao ano. Você deposita 1 real em janeiro e, em dezembro, tem 2 reais. Agora o banco oferece outra coisa: em vez de 100% no fim do ano, paga 50% a cada seis meses, e os juros do primeiro semestre também rendem no segundo. Vale a pena? E se pagar a cada mês, a cada dia, a cada segundo? Dá para ficar infinitamente rico?

October 14, 2026 Iniciar leitura

O triângulo de Pascal: somar para construir

Escreva um $1$. Embaixo, dois $1$. A partir daí, cada linha começa e termina com $1$, e cada número do meio é a soma dos dois que estão logo acima: $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$É só isso. Uma regra que uma criança aprende em um minuto produz uma das tabelas mais ricas da matemática. Hoje ela se chama triângulo de Pascal, mas Pascal foi um dos últimos a encontrá-la.

October 11, 2026 Iniciar leitura

A série harmônica e o pedido de ajuda

Assim como a série infinita é contida pela soma finita, e no ilimitado se discerne o limite, também a alma da imensidão mora no ínfimo, e no limite mais estreito não há limites. — Jakob Bernoulli, Tractatus de seriebus infinitis (1689) Entre 1689 e 1704, Jakob Bernoulli publicou em Basileia cinco dissertações sobre séries infinitas, somas com infinitas parcelas. Era um assunto novo e perigoso. Algumas dessas somas dão um número, como

October 14, 2026 Iniciar leitura

Combinações: contar sem listar

Na Mega-Sena, você escolhe 6 números entre 60. Quantos jogos diferentes existem? Listar todos levaria uma vida: são mais de cinquenta milhões. Mas dá para contar sem listar, e Pascal mostrou como. Escolher sem ordem Comece com um caso pequeno: de quantas maneiras se pode escolher 2 pessoas num grupo de 5 para uma comissão? Se a ordem importasse, haveria $5$ opções para a primeira pessoa e $4$ para a segunda: $5\cdot4=20$. Mas numa comissão “Ana e Bruno” é o mesmo que “Bruno e Ana”, e cada par foi contado duas vezes. São $20/2=10$ comissões.

October 11, 2026 Iniciar leitura

A espiral maravilhosa e a lemniscata

Com o cálculo de Leibniz nas mãos, os irmãos Bernoulli saíram à caça de curvas. Para cada uma perguntavam: qual é a tangente, qual é o comprimento, qual é a área, qual é a curvatura? Muitas dessas curvas eram conhecidas desde os gregos, mas só agora se podia responder a essas perguntas com uma regra geral. Duas ficaram para sempre com o nome de Jakob. A espiral que não muda de forma A espiral logarítmica já tinha sido estudada por Descartes e por Torricelli. Em coordenadas polares, em que cada ponto é dado pela distância $r$ ao centro e pelo ângulo $\theta$, ela é

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os dados do Cavaleiro de Méré e a partilha justa

Antoine Gombaud, que se apresentava como Cavaleiro de Méré, era um escritor da corte francesa e um jogador apaixonado. Por volta de 1654, levou a Pascal duas perguntas sobre apostas. Pascal achou as perguntas tão boas que escreveu a Pierre de Fermat, e daquelas cartas nasceu a teoria das probabilidades. Sobre o amigo, Pascal comentou com Fermat: Ele tem muito bom espírito, mas não é geômetra; e isso, como o senhor sabe, é um grande defeito. — Blaise Pascal, carta a Fermat (29 de julho de 1654)

October 11, 2026 Iniciar leitura

A arte de conjecturar: contar as chances

Conjecturar uma coisa é medir a sua probabilidade. Por isso definimos a arte de conjecturar, ou estocástica, como a arte de medir o mais exatamente possível as probabilidades das coisas, para que, nos nossos juízos e ações, possamos sempre escolher ou seguir aquilo que nos pareça melhor, mais satisfatório, mais seguro ou mais ponderado. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV Em 1654, Pascal e Fermat trocaram cartas sobre como dividir o dinheiro de um jogo interrompido. Em 1657, o holandês Christiaan Huygens publicou um livrinho de quinze páginas sobre os cálculos dos jogos de dados. Eram problemas de salão: dados, cartas, apostas.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A Pascalina: uma soma feita por engrenagens

Em 1640, Étienne Pascal foi nomeado coletor de impostos da Normandia. O trabalho era somar colunas e colunas de valores, noite adentro, e o filho Blaise, então com 17 anos, ajudava. Para piorar, o dinheiro francês não era decimal: $$1\ \text{livra}=20\ \text{soldos},\qquad 1\ \text{soldo}=12\ \text{dinheiros}.$$Somar $3$ livras, $15$ soldos e $8$ dinheiros com $2$ livras, $7$ soldos e $9$ dinheiros exige três tipos de “vai um”: dinheiros: $8+9=17$, que é $1$ soldo e $5$ dinheiros; soldos: $15+7+1=23$, que é $1$ livra e $3$ soldos; livras: $3+2+1=6$. Resultado: $6$ livras, $3$ soldos e $5$ dinheiros. Faça isso mil vezes por noite e você vai errar. Em 1642, Blaise começou a construir uma máquina que não errasse.

October 11, 2026 Iniciar leitura

O teorema de ouro: a lei dos grandes números

Até o mais tolo dos homens, por algum instinto da natureza, sozinho e sem nenhuma instrução, está convencido de que, quanto mais observações forem feitas, menor é o perigo de errar o alvo. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV Com um dado, sabemos de antemão a chance de cada face: $\frac16$. Mas qual é a chance de um homem de 40 anos viver mais vinte? De chover amanhã? De um remédio funcionar? Nesses casos não há faces iguais para contar. Jakob propôs outro caminho: observar muitas vezes e usar a frequência como estimativa da probabilidade. Se, de muitos homens de 40 anos, metade chegou aos 60, a chance deve ser perto de metade.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O hexagrama místico: seis pontos numa cônica

Em fevereiro de 1640, circulou em Paris uma folha impressa de um lado só, como um cartaz, com o título Ensaio sobre as cônicas. Não trazia demonstrações, só definições, três lemas e uma lista de resultados. O autor tinha 16 anos e se chamava Blaise Pascal. Quando o padre Mersenne mostrou a folha a Descartes, a reação foi de desconfiança: Descartes achou que o rapaz tinha tirado tudo de Girard Desargues, o arquiteto e geômetra que Pascal admirava. A influência de Desargues era real, e o próprio Pascal a reconhecia. Mas o resultado central da folha era novo.

October 11, 2026 Iniciar leitura