Euler's Eyes
2026-10-25
考えるために書く：ガウスとラマヌジャンのノート
数学の書きものには、かならず読み手がいる。読み手は別の人のこともあれば、数日後あるいは数年後の書き手自身のこともある。この二つはまったくちがう書き方を求める。そして二冊の有名なノートは、自分のために書かれた文章が他人の手にわたると何が起こるかを示している。
ガウスの日記
1796 年 3 月 30 日、ゲッティンゲンの 18 歳の学生が小さなノートを開き、ラテン語で書きとめた。定規とコンパスで円周を 17 等分する方法を見つけた、と。ギリシア以来の未解決問題である。それがカール・フリードリヒ・ガウスであり、彼が文献学ではなく数学を選んだのは、この結果のためだった。その後の十八年間に、彼はこのノートに 146 の短い記録を書いた。ほとんどがひとつの文で、ときに式ひとつである。
もっとも有名なのは 1796 年 7 月 10 日の記録である。
五つの記号とひとつのギリシア語。ガウスにはそれで十分だった。彼は $\Delta$ が三角数（$0, 1, 3, 6, 10, 15, \ldots$、つまり $\frac{n(n+1)}{2}$ の形の数）を、「num」が任意の正の整数を意味すること、そして「エウレカ」が、フェルマーが 1638 年に証明なしで述べた主張の証明を祝っていることを知っていた。完全な証明は五年後、『整数論研究』で発表された。
ほかの記録はそれほど幸運ではなかった。1796 年 10 月 21 日の記録には Vicimus GEGAN、「われら GEGAN に勝てり」とだけあり、GEGAN が何を意味するのかは、今日までだれにも分からない。日記は家族の手もとに残り、1897 年になってようやく見つかった。フェリックス・クラインが 1903 年にそれを公刊し、歴史家たちはいまもいくつかの行について議論している。書き手にとってすばらしい記法が、読み手にとってはものを言わないことがある。
ラマヌジャンのノート
インドのシュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、証明のない公式集を使って、ほとんど独学で数学を学び、自分も同じように書いた。1903 年から 1914 年のあいだに三冊のノートを約 3900 の結果で埋めたが、そのほとんどに証明はない。恒等式、連分数、$\pi$ の級数。多くは正しく新しいものだった。いくつかはまちがっていた。そしていくつかはあまりに驚くべきもので、最初のいくつかを見た G・H・ハーディは、だれもそれをでっちあげるほどの想像力はもたないだろうから、本当にちがいない、と言った。
これらのノートを読める数学に変えるには、ほぼ一世紀かかった。アメリカのブルース・バーントは 1985 年から 1998 年にかけて、ノートの結果を証明または訂正することだけに五巻をあてた。そして 1976 年、ジョージ・アンドリューズがケンブリッジのトリニティ・カレッジの図書館で、ラマヌジャンの最後の一年の紙の束、いわゆる「失われたノート」を見つけた。これもまた、解読に何十年もかかった。
他人のために書く
ガウスの日記とラマヌジャンのノートは、考えるための書きものである。すばやく、圧縮され、書き手だけが意味を知っている記号でいっぱいだ。こうした書きものは貴重であり、どの学生も自分のものをもつべきである。しかしそれは、伝えるための書きものではない。
数学を書くことの根本的な問題は、生物学を書くこと、小説を書くこと、チェンバロの組み立て説明書を書くことと同じである。問題は、ひとつの考えを伝えることにある。
— ポール・ハルモス「数学の書き方」（1970）
ハンガリー系アメリカ人のポール・ハルモスと、1989 年には TeX の作者であるアメリカのドナルド・クヌースが、どんな練習問題の解答を書くときにも役立つ助言をまとめた。
- 完全な文を書く。 記号とことばはひとつの文をなし、句読点をもつ。
- 記号で文を始めない。 「$x$ は正である」ではなく「数 $x$ は正である」と書く。
- 二つの式はことばで区切る。 「$x > 2$、$x^2 > 4$」ではなく「$x > 2$ ならば $x^2 > 4$ である」と書く。
- 本文の中では $\Rightarrow$、$\forall$、$\exists$ の代わりにことばを使う。 記号は式に仕える。本文には動詞がある。
- する前に、何をするかを言う。 「$n^2$ が奇数であることを示そう」と書けば、読み手はその段落の残りをたどれる。
練習：20 のエウレカ
$20$ を三つの三角数の和として書け。書き方は二通り以上あるか。
$20$ までの三角数は $0, 1, 3, 6, 10, 15$ である。$15$ を使うと $5$ が足りないが、$5$ は二つの三角数の和ではない（$0+3$、$1+3$、$3+3$ はどれも $5$ にならない）。$10$ を二つ使えば、$0$ を足すだけでよい。$10 + 10 + 0 = 20$。$10$ をひとつだけ使うなら、もっと小さい二つの三角数で $10$ をつくらなければならないが、$6+3 = 9$、$6+6 = 12$ はだめである。$10$ も $15$ も使わなければ、最大でも $6+6+6 = 18$ にしかならない。書き方は $10 + 10 + 0$ のただひとつで、図もそれを確かめている。
練習：日記を翻訳する
「ΕΥΡΗΚΑ num = Δ + Δ + Δ」を、ハルモスとクヌースの流儀で完全な文に書き直せ。
「すべての正の整数 $n$ は、$a$、$b$、$c$ を 0 以上の整数として、$n = \frac{a(a+1)}{2} + \frac{b(b+1)}{2} + \frac{c(c+1)}{2}$ と書ける。すなわち、すべての正の整数は三つの三角数の和である。」文は二十倍長くなるが、それこそが、ガウスの頭にたよらずにすむために読み手が必要とするものである。