Euler's Eyes
2026-10-25
为思考而写：高斯和拉马努金的笔记本
所有的数学书写都有读者。有时读者是另一个人；有时是作者自己，几天或几年之后。两者要求截然不同的写法，而两本著名的笔记本说明了：一份为自己写的文本落到别人手里时会发生什么。
高斯的日记
1796 年 3 月 30 日，哥廷根一个 18 岁的学生打开一个小本子，用拉丁文记下：他发现了如何用直尺和圆规把圆周分成 17 等份，这是自古希腊以来悬而未决的问题。他就是卡尔·弗里德里希·高斯，正是这个结果让他选择了数学而不是语文学。在此后的十八年里，他在本子上写了 146 条简短的记录，几乎总是一句话，有时是一个公式。
1796 年 7 月 10 日的记录最为著名：
五个符号加一个希腊词。对高斯来说，这就够了：他知道 $\Delta$ 表示三角形数（$0, 1, 3, 6, 10, 15, \ldots$，即形如 $\frac{n(n+1)}{2}$ 的数），“num”表示任意正整数，而“尤里卡”庆祝的是费马在 1638 年提出却未加证明的一个断言得到了证明。完整的证明五年后发表在《算术研究》中。
另一些记录就没有这么幸运了。1796 年 10 月 21 日的那条只写着 Vicimus GEGAN，“我们战胜了 GEGAN”，直到今天也没有人知道 GEGAN 是什么意思。日记一直留在高斯家人手里，直到 1897 年才被发现；菲利克斯·克莱因在 1903 年将它发表，历史学家至今仍在争论其中几行。对作者来说极好的记号，对读者可能是哑的。
拉马努金的笔记本
印度人斯里尼瓦瑟·拉马努金几乎是自学的数学，用的是一本只有公式、没有证明的书，他自己也照样写。1903 年到 1914 年间，他写满了三本笔记本，约有 3900 个结果，几乎都没有证明：恒等式、连分数、$\pi$ 的级数。许多是对的而且是新的；有些是错的；还有一些令人惊奇到这种程度：哈代看到最初的几个时说，它们一定是真的，因为没有人有那样的想象力去编造它们。
把这些笔记本变成可读的数学花了将近一个世纪。1985 年至 1998 年间，美国人布鲁斯·伯恩特出版了五卷书，专门证明或订正笔记本中的结果。1976 年，乔治·安德鲁斯在剑桥三一学院的图书馆里找到一沓拉马努金生命最后一年的稿纸，即“遗失的笔记本”，它也花了几十年才被破解。
为别人写
高斯的日记和拉马努金的笔记本是为思考而写的：快速、压缩，满是只有作者自己才懂的符号。这样的书写很珍贵，每个学生都应该有自己的一本。但它不是为交流而写的。
写数学的根本问题，与写生物学、写小说、写组装羽管键琴的说明书是一样的：问题在于传达一个想法。
— 保罗·哈尔莫斯《怎样写数学》（1970）
匈牙利裔美国人保罗·哈尔莫斯，以及 1989 年 TeX 的创造者、美国人高德纳（Donald Knuth），汇集了一些适用于任何书面习题解答的建议：
- 写完整的句子。 符号和文字组成一个句子，带标点。
- 不要用符号开头。 不写“$x$ 是正的”，写“数 $x$ 是正的”。
- 两个公式之间用文字隔开。 写“如果 $x > 2$，那么 $x^2 > 4$”，而不写“$x > 2$，$x^2 > 4$”。
- 正文里用文字代替 $\Rightarrow$、$\forall$、$\exists$。 符号为公式服务；正文要有动词。
- 做之前先说要做什么。 “我们来证明 $n^2$ 是奇数”能引导读者读完这一段。
练习：20 的尤里卡
把 $20$ 写成三个三角形数之和。方法不止一种吗？
不超过 $20$ 的三角形数是 $0, 1, 3, 6, 10, 15$。用 $15$ 的话还差 $5$，而 $5$ 不是两个三角形数之和（$0+3$、$1+3$、$3+3$ 都不是 $5$）。用两个 $10$，再加 $0$ 就够了：$10 + 10 + 0 = 20$。只用一个 $10$ 的话，还要用两个更小的三角形数凑出 $10$，而 $6+3 = 9$、$6+6 = 12$ 都不行。既不用 $10$ 也不用 $15$，最多只能得到 $6+6+6 = 18$。唯一的方法是 $10 + 10 + 0$，上面的图也证实了这一点。
练习：翻译日记
按哈尔莫斯和高德纳的风格，把“ΕΥΡΗΚΑ num = Δ + Δ + Δ”改写成一个完整的句子。
“每个正整数 $n$ 都可以写成 $n = \frac{a(a+1)}{2} + \frac{b(b+1)}{2} + \frac{c(c+1)}{2}$，其中 $a$、$b$、$c$ 是大于或等于零的整数；也就是说，每个正整数都是三个三角形数之和。”这句话长了二十倍，而这正是读者为了不必依赖高斯的头脑所需要的。