Euler's Eyes
2026-10-18
積分を記号ごとに読む
式
$$\int_0^2 x^2\,dx$$には五つの部品がある。記号 $\int$、数 $0$ と $2$、関数 $x^2$、そして $dx$。それぞれが別の仕事をし、それぞれにいわれがある。第1章では、アルキメデスの取り尽くし法から積分への道のりを語った。ここでは、新しい言語の文を読むように、積分をゆっくり読んでいく。
五つの部品からなる文
- $\int$ は、和を意味する summa の S を縦に伸ばしたものである。ライプニッツが 1675 年 10 月 29 日の手稿で初めて書いた。奇妙なしかたで類像的な記号である。面積に似ているのではなく、面積がどうつくられるかを述べる言葉に似ているのだ。
- 下端と上端の $0$ と $2$ は、どこからどこまで足すかを言う。これはライプニッツのものではない。1820 年ごろ、フランスのジョゼフ・フーリエが記号にくっつけて書きはじめた。それまでは、横にことばで書かれていた。
- 関数 $x^2$ は各帯の高さである。
- $dx$ は各帯の幅で、無限に細い。そしてどの文字が変わるかのしるしでもある。$dt$ と書いてあれば、変数は $t$ である。
- 文字 $x$ は束縛された文字である。$\int_0^2x^2\,dx$ と $\int_0^2t^2\,dt$ は同じ値である。結果の $\frac83$ は $x$ によらない。
全体として、この文は言う。$0$ から $2$ までのすべての $x$ について、高さ $x^2$ に幅 $dx$ をかけたものを足し合わせよ。
記号の背後にある和
この読み方は比喩ではない。無限に細い幅 $dx$ を本物の幅 $\Delta x$ に、$\int$ を和を表すギリシア文字 $\Sigma$ に替えれば、積分は長方形の面積の和、リーマン和になる。
$$\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x\;\longrightarrow\;\int_a^b f(x)\,dx.$$記法はここでも第2の文章と同じことをしている。極限に移っても形が保たれるのである。$\Sigma$ は $\int$ に、$\Delta x$ は $dx$ に、$f(x_i)$ は $f(x)$ になる。有限の和がわかる人は、積分を苦もなく読める。
忘れられた dx
多くの学生が $dx$ なしで $\int x^2$ と書き、先生に直される。細かすぎる注文のように見えるが、そうではない。$dx$ は変数変換のときに本当の仕事をする。
$$\int 2x\cos(x^2)\,dx$$を計算しよう。$u=x^2$ とすると、微分は $du=2x\,dx$ である。式全体が変換され、$\cos(x^2)\cdot2x\,dx$ は $\cos u\,du$ になり、積分は
$$\int\cos u\,du=\sin u+C=\sin(x^2)+C$$となる。$dx$ なしで $\int 2x\cos(x^2)$ と書いた人には $du$ を置く場所がなく、$2x$ が理由もなく余ってしまう。ライプニッツの記法が仕事をしたのである。$dx$ は $du$ に変わる術を知っていた。
練習：手で計算するリーマン和
区間 $[0,2]$ で $x^2$ を $n=4$ 本の帯に分け、左端と右端でリーマン和を計算せよ。
$\Delta x=0.5$。左端では、高さは $f(0)$、$f(0.5)$、$f(1)$、$f(1.5)$ で、$(0+0.25+1+2.25)\cdot0.5=1.75$。右端では $f(0.5)$ から $f(2)$ まで、$(0.25+1+2.25+4)\cdot0.5=3.75$。本当の面積 $\frac83\approx2.667$ は二つのあいだにある。増加関数ならそうなるはずである。
練習：dx に仕事をさせる
$\int 3x^2(x^3+1)^4\,dx$ を計算せよ。
$u=x^3+1$ とすると、$du=3x^2\,dx$。積分は $\int u^4\,du=\frac{u^5}{5}+C=\frac{(x^3+1)^5}{5}+C$ になる。確かめると、連鎖律により $\frac{(x^3+1)^5}{5}$ の導関数は $(x^3+1)^4\cdot3x^2$ である。