Cálculo

A vida de James Bernoulli

Linha do tempo 1655Nasce em 6 de janeiro, em Basileia, numa família de comerciantes de especiarias. 1671Obtém o grau de mestre em filosofia. Continua os estudos de teologia, por vontade do pai. 1676Termina a teologia e parte em viagem. Em Genebra, ensina matemática a uma menina cega. 1681Visita a Inglaterra, onde conhece Robert Boyle e Robert Hooke. Escreve sobre o grande cometa de 1680. 1683De volta a Basileia, dá aulas de física experimental e estuda o problema dos juros compostos. 1684Casa-se com Judith Stupanus. Começa a ler os artigos de Leibniz sobre o cálculo. 1687Torna-se professor de matemática da Universidade de Basileia, cargo que ocupa até morrer. 1689Publica a primeira das suas dissertações sobre séries infinitas, com a série harmônica. 1690Resolve o problema da isócrona e usa, pela primeira vez, a palavra integral. 1694Descreve a lemniscata. 1697Rompe publicamente com o irmão Johann, a propósito da braquistócrona. 1705Morre em 16 de agosto, em Basileia. Deixa inacabada a Ars conjectandi. 1713A Ars conjectandi é publicada pelo sobrinho Nicolaus. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1655–1676 BasileiaNasce numa família de comerciantes de especiarias. Por vontade do pai, estuda teologia; por conta própria, matemática. 1676 GenebraÉ preceptor de Elisabeth von Waldkirch, uma menina cega, a quem ensina a ler, a escrever e um pouco de matemática. 1677–1680 FrançaEstuda a filosofia de Descartes e de Malebranche. 1681 HolandaConhece os cientistas da nova filosofia experimental. 1681 InglaterraConhece Robert Boyle e Robert Hooke e escreve sobre o grande cometa de 1680. 1683–1705 BasileiaVolta para casa, aprende sozinho o cálculo de Leibniz e é professor da universidade até morrer, em 1705. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Os anos de viagem de Jakob Bernoulli, de Basileia à Inglaterra e de volta. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

A vida de Johann Bernoulli

Linha do tempo 1667Nasce em 27 de julho, em Basileia, décimo filho de Nicolaus Bernoulli. 1682É mandado a Neuchâtel para aprender o comércio. Não leva jeito. 1683Entra na Universidade de Basileia. Estuda medicina e, com o irmão Jakob, matemática. 1691Resolve o problema da catenária. Viaja a Genebra e depois a Paris. 1692Começa a dar aulas de cálculo ao marquês de l’Hôpital. 1694Doutora-se em medicina. Assina um contrato com l’Hôpital e casa-se com Dorothea Falkner. 1695Torna-se professor de matemática em Groningen, na Holanda. 1696Lança o desafio da braquistócrona. Sai o livro de l’Hôpital, feito com as suas aulas. 1705Volta a Basileia. Jakob morre, e Johann herda a sua cátedra. 1717Enuncia, numa carta a Varignon, o princípio dos trabalhos virtuais. 1720Começa a orientar o jovem Leonhard Euler. 1734Divide um prêmio da Academia de Paris com o filho Daniel e o expulsa de casa. 1748Morre em 1º de janeiro, em Basileia, aos 80 anos. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1667–1682 BasileiaNasce, décimo filho de Nicolaus Bernoulli, que quer fazer dele um comerciante. 1682 NeuchâtelÉ mandado para aprender o comércio. Não leva jeito. 1683–1691 BasileiaEstuda medicina e, com o irmão Jakob, o cálculo de Leibniz. Resolve o problema da catenária. 1691 GenebraPassa por Genebra a caminho de Paris. 1691–1692 ParisConhece o círculo de Malebranche e passa a dar aulas de cálculo ao marquês de l’Hôpital, também no castelo de Oucques. 1695–1705 GroningenProfessor de matemática na Holanda. Em 1696 lança o desafio da braquistócrona. 1705–1748 BasileiaVolta para casa, herda a cátedra de Jakob, orienta o jovem Euler e briga com o filho Daniel. Morre em 1748, aos 80 anos. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Johann Bernoulli entre Basileia, Paris e Groningen. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

A vida de Gottfried Wilhelm Leibniz

Linha do tempo 1646Nasce em 1º de julho, em Leipzig, no Sacro Império Romano-Germânico. 1661Entra na Universidade de Leipzig, aos 14 anos. 1666Publica De arte combinatoria. Leipzig recusa seu doutorado em direito; Altdorf o aprova no ano seguinte. 1672Vai a Paris em missão diplomática. Começa a estudar matemática a sério com Christiaan Huygens. 1673Apresenta sua máquina de calcular em Londres e é eleito para a Royal Society. 1675Em manuscritos de outubro e novembro, cria os símbolos $\int$ e $d$. 1676Muda-se para Hannover, onde trabalhará como bibliotecário e conselheiro por 40 anos. 1684Publica o primeiro artigo sobre cálculo diferencial na revista Acta Eruditorum. 1700Funda a Academia de Ciências de Berlim e é seu primeiro presidente. 1703Publica a explicação da aritmética binária. 1716Morre em 14 de novembro, em Hannover. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1646–1666 LeipzigNasce e estuda em Leipzig. A universidade recusa o seu doutorado em direito, alegando que ele é jovem demais. 1666–1667 AltdorfObtém o doutorado em poucos meses, perto de Nuremberg, e recusa o cargo de professor que lhe oferecem. 1668–1672 MainzEntra para o serviço do príncipe-arcebispo de Mainz, como jurista e conselheiro. 1672–1676 ParisChega em missão diplomática e aprende matemática com Christiaan Huygens. Em 1675 cria os símbolos $\int$ e $d$. 1673 LondresMostra a sua máquina de calcular na Royal Society e é eleito membro. 1676 HaiaA caminho de Hannover, visita o filósofo Baruch Spinoza. 1676–1716 HannoverBibliotecário e conselheiro dos duques por quarenta anos. Publica o cálculo (1684) e a aritmética binária (1703). Morre em 1716. 1687–1690 RomaViaja três anos por arquivos da Alemanha, da Áustria e da Itália para escrever a história da família ducal. 1700 BerlimFunda a Academia de Ciências de Berlim e torna-se o seu primeiro presidente. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. As viagens de Leibniz, diplomata, bibliotecário e matemático. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 11, 2026 Iniciar leitura

A vida de Isaac Newton

Linha do tempo 1643Nasce em 4 de janeiro, em Woolsthorpe, Inglaterra. Nos registros ingleses da época, a data é 25 de dezembro de 1642. 1661Entra no Trinity College, em Cambridge, como estudante pobre. 1665–1667Com a universidade fechada pela peste, volta para casa. Desenvolve séries, fluxões, a teoria das cores e as primeiras ideias sobre a gravidade. 1669Aos 26 anos, assume a cátedra lucasiana de matemática, no lugar de Isaac Barrow. 1672Apresenta seu telescópio refletor e publica a teoria da luz e das cores. 1687Publica os Principia, pagos do bolso de Edmond Halley. 1696Vai para a Casa da Moeda de Londres, primeiro como Warden e, em 1699, como Master. 1703Torna-se presidente da Royal Society. 1704Publica a Opticks. 1727Morre em 31 de março, em Londres. É sepultado na Abadia de Westminster. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1643–1661 WoolsthorpeNasce numa fazenda, filho póstumo de um agricultor. Estuda na escola de Grantham, ali perto. 1661–1665 CambridgeEntra no Trinity College como estudante pobre, que paga os estudos servindo os colegas. 1665–1667 WoolsthorpeCom a universidade fechada pela peste, volta para casa. Desenvolve séries, fluxões, a teoria das cores e as primeiras ideias sobre a gravidade. 1667–1696 CambridgeOcupa a cátedra lucasiana, constrói o telescópio refletor e escreve os Principia (1687). 1696–1727 LondresDirige a Casa da Moeda, na Torre de Londres, e preside a Royal Society. Morre em 1727 e é sepultado na Abadia de Westminster. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Os três lugares de Newton, de Woolsthorpe a Cambridge e Londres. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 11, 2026 Iniciar leitura

A catenária: a corrente pendurada

Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum. (Assim como pende o fio flexível, assim ficará de pé, invertido, o arco rígido.) — Robert Hooke, anagrama decifrado em 1705 Pegue uma corrente fina pelas duas pontas e deixe-a pender. Ela forma uma curva bonita, que parece uma parábola. Galileu, em 1638, achou que fosse mesmo uma parábola, pelo menos aproximadamente. O holandês Christiaan Huygens, aos 17 anos, mostrou que não podia ser. Mas que curva era, ninguém sabia.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os juros que nunca acabam e o número e

Imagine um banco generoso que paga 100% de juros ao ano. Você deposita 1 real em janeiro e, em dezembro, tem 2 reais. Agora o banco oferece outra coisa: em vez de 100% no fim do ano, paga 50% a cada seis meses, e os juros do primeiro semestre também rendem no segundo. Vale a pena? E se pagar a cada mês, a cada dia, a cada segundo? Dá para ficar infinitamente rico?

October 14, 2026 Iniciar leitura

A notação de Leibniz: uma linguagem para as mudanças

Nos símbolos, observa-se uma vantagem para a descoberta que é maior quando eles exprimem a natureza exata de uma coisa de forma breve e, por assim dizer, a retratam. Então, de fato, o trabalho do pensamento é maravilhosamente reduzido. — Leibniz, carta a Tschirnhaus (1678) Newton chegou primeiro ao cálculo, mas quem decidiu como ele seria escrito foi Leibniz. E a escrita fez toda a diferença. A letra d Em 11 de novembro de 1675, num manuscrito em Paris, Leibniz passou a usar a letra $d$ para indicar uma diferença infinitamente pequena. O $d$ vem do latim differentia, palavra ligada ao verbo differre, “separar, levar para lados diferentes”. Assim:

October 11, 2026 Iniciar leitura

A regra de l'Hôpital: as aulas vendidas a um marquês

Reconheço dever muito às luzes dos senhores Bernoulli, sobretudo às do mais jovem, hoje professor em Groningen. Servi-me sem cerimônia das suas descobertas e das do senhor Leibniz. — Marquês de l'Hôpital, prefácio da Análise dos infinitamente pequenos (1696) Em 1691, o marquês Guillaume de l’Hôpital tinha 30 anos, um título, um castelo, e uma paixão: entender o cálculo de Leibniz, que mal tinha sido publicado e que quase ninguém na França conseguia ler. Quando o jovem suíço Johann Bernoulli, que sabia o cálculo melhor do que quase todo mundo, apareceu em Paris, o marquês o contratou como professor particular.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A série harmônica e o pedido de ajuda

Assim como a série infinita é contida pela soma finita, e no ilimitado se discerne o limite, também a alma da imensidão mora no ínfimo, e no limite mais estreito não há limites. — Jakob Bernoulli, Tractatus de seriebus infinitis (1689) Entre 1689 e 1704, Jakob Bernoulli publicou em Basileia cinco dissertações sobre séries infinitas, somas com infinitas parcelas. Era um assunto novo e perigoso. Algumas dessas somas dão um número, como

October 14, 2026 Iniciar leitura

Máximos e mínimos: o retângulo de maior área

Você tem 24 metros de cerca e quer cercar um terreno retangular com a maior área possível. Que medidas escolher? Um retângulo comprido e fino desperdiça cerca; um quadrado parece melhor. Mas como provar? Fermat inventou um método para responder perguntas assim por volta de 1636, mais de trinta anos antes de Newton e quase cinquenta antes de Leibniz publicar o cálculo. O problema de Fermat O primeiro exemplo de Fermat era exatamente esse: dividir um segmento de comprimento $b$ em duas partes, $x$ e $b-x$, de modo que o produto $x(b-x)$ seja o maior possível. É o nosso terreno: com 24 m de cerca, a soma de dois lados vizinhos é $12$, e a área é

October 11, 2026 Iniciar leitura

A regra do produto: duas mudanças na mesma conta

Se você sabe como $u$ muda e como $v$ muda, como muda o produto $uv$? O palpite natural é multiplicar as mudanças: $d(uv)=du\cdot dv$. Parece tão simétrico, tão elegante… Leibniz teve o mesmo palpite. Leibniz testa e erra No mesmo manuscrito de 11 de novembro de 1675 em que começou a usar a letra $d$, Leibniz se perguntou se $d(xy)$ seria igual a $dx\,dy$, e se $d\!\left(\frac xy\right)$ seria igual a $\dfrac{dx}{dy}$. Em vez de confiar na elegância, testou com um exemplo e descobriu que não. Dias depois, encontrou a regra certa.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Fluxões: como medir uma mudança instantânea

Um carro sai de São Paulo e chega a Campinas, a 90 km, em uma hora. A velocidade média foi 90 km/h. Mas o velocímetro, a cada instante, mostrava outro número. O que exatamente ele mede? Velocidade é distância dividida por tempo, mas num instante não se percorre distância nenhuma e não passa tempo nenhum. Dividir zero por zero não dá resposta. Essa era a pergunta que Newton queria responder em 1665. A resposta dele foi o método das fluxões.

October 11, 2026 Iniciar leitura