表达式

$$\int_0^2 x^2\,dx$$

有五个部件：符号 $\int$、数字 $0$ 和 $2$、函数 $x^2$ 以及 $dx$。每一个都做不同的工作，每一个都有来历。第1章讲述了从阿基米德的穷竭法到积分的过程。这里，我们慢慢地读积分，就像读一门新语言里的句子。

五个部件组成的句子

  1. $\int$ 是一个拉长的 S，取自 summa，即“和”。莱布尼茨在 1675 年 10 月 29 日的一份手稿里第一次写下它。它是一种奇特的图像符号：它不像一块面积，却像描述面积如何构成的那个词。
  2. 上下限 $0$ 和 $2$ 写在下面和上面，说明从哪里加到哪里。它们不是莱布尼茨的：是法国人约瑟夫·傅里叶在 1820 年前后开始把它们紧贴着符号写的。在此之前，它们用文字写在旁边。
  3. 函数 $x^2$ 是每个条带的高。
  4. $dx$ 是每个条带的宽，无限地细。它也标明哪个字母在变：如果写的是 $dt$，变量就是 $t$。
  5. 字母 $x$ 是一个哑字母：$\int_0^2x^2\,dx$ 和 $\int_0^2t^2\,dt$ 的值相同。结果 $\frac83$ 不依赖于 $x$。

整句读下来就是：对从 $0$ 到 $2$ 的所有 $x$，把高 $x^2$ 乘以宽 $dx$ 加起来。

符号背后的和

这种读法不是比喻。把无限细的宽 $dx$ 换成真实的宽 $\Delta x$，把 $\int$ 换成表示和的希腊字母 $\Sigma$，积分就变成了矩形面积之和，即黎曼和：

$$\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x\;\longrightarrow\;\int_a^b f(x)\,dx.$$

记号在这里做的事和第2篇一样：取极限时形状保持不变。$\Sigma$ 变成 $\int$，$\Delta x$ 变成 $dx$，$f(x_i)$ 变成 $f(x)$。懂得有限和的人，读积分毫不费力。

被忘掉的 dx

许多学生写 $\int x^2$，不写 $dx$，老师就纠正。这看起来像吹毛求疵，其实不然。$dx$ 在换元时做着真正的工作。计算

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx.$$

取 $u=x^2$，微分是 $du=2x\,dx$。整个表达式都被变换了，$\cos(x^2)\cdot2x\,dx$ 变成 $\cos u\,du$，积分成为

$$\int\cos u\,du=\sin u+C=\sin(x^2)+C.$$

写成 $\int 2x\cos(x^2)$、不带 $dx$ 的人，没有地方放 $du$，那个 $2x$ 就莫名其妙地剩了下来。莱布尼茨的记号完成了这项工作：$dx$ 知道怎样变成 $du$。

练习：手算一个黎曼和

计算 $x^2$ 在 $[0,2]$ 上分成 $n=4$ 个条带时，取左端点和右端点的黎曼和。

$\Delta x=0.5$。取左端点，高为 $f(0)$、$f(0.5)$、$f(1)$、$f(1.5)$：$(0+0.25+1+2.25)\cdot0.5=1.75$。取右端点，从 $f(0.5)$ 到 $f(2)$：$(0.25+1+2.25+4)\cdot0.5=3.75$。真实面积 $\frac83\approx2.667$ 介于两者之间，对增函数来说理应如此。

练习：让 dx 来做事

计算 $\int 3x^2(x^3+1)^4\,dx$。

取 $u=x^3+1$，$du=3x^2\,dx$。积分变成 $\int u^4\,du=\frac{u^5}{5}+C=\frac{(x^3+1)^5}{5}+C$。验证：根据链式法则，$\frac{(x^3+1)^5}{5}$ 的导数是 $(x^3+1)^4\cdot3x^2$。

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