Pegue o número 2 e eleve a potências cada vez maiores. Divida cada resultado por 7 e anote o resto: Potência $2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ Valor 2 4 8 16 32 64 Resto por 7 2 4 1 2 4 1 Em $2^6$, o resto é 1. Agora tente com 3 e o primo 5: $3^4=81$, que deixa resto 1 na divisão por 5. E com 10 e o primo 13: $10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$, que também deixa resto 1 na divisão por 13.
Os matemáticos sempre sonharam com uma fórmula que só produzisse números primos. Em 1640, Fermat achou que tinha encontrado uma. Cinco primos seguidos Fermat estudou os números da forma $$F_n=2^{2^n}+1.$$O expoente é uma potência de 2: $1,2,4,8,16,\ldots$ Calculando os primeiros: $$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$Os cinco são primos. Verificar $65\,537$ à mão, testando divisores até sua raiz quadrada, já dava trabalho. Fermat escreveu a Frénicle de Bessy que estava convencido de que todos os números dessa forma eram primos, embora admitisse não ter uma demonstração.
Eratóstenes e a peneira de números Eratóstenes viveu no século III a.C. e é lembrado por um método de encontrar primos: o crivo. Pense numa peneira que retira os números compostos e deixa os primos à vista. Sua vez de investigar: Escreva os números de 2 a 20. Preserve o 2 e risque seus múltiplos maiores que ele; depois faça o mesmo com o 3. Quais números ficam? Conheça a fonte histórica no MacTutor, da Universidade de St Andrews.